Una o varias colas en el supermercado, según la estadística

Acostumbrado a las colas "tradicionales"en los supermercados, donde cada caja tiene su propia cola, hace años sorprendió ver que algunas cadenas usaban un método novedoso: la cola única para todas las cajas. Fue en Reino Unido, y hasta hace poco no han empezado a adoptar ese modelo algunas grandes superficies españolas.

A primera vista no es trivial decir qué sistema es mejor. En este artículo haremos un análisis estadístico (incluyendo simulaciones) con el que dejaremos bien claro que el sistema de única cola es mucho mejor desde el punto de vista del cliente.

Los que hayan estudiado teleco ya sabrán que el modelado de este tipo de problemas forma un campo de las matemáticas en sí mismo: la Teoría de Colas, informa el blog ciencia-explicada

Piense que además de en la cola del super, nos encontramos problemas muy parecidos en redes de telecomunicaciones (e.g. paquetes de datos esperando entrar o salir por un router), en programas informáticos (e.g. peticiones a un servidor), etc. por lo que hay mucha gente que lleva décadas estudiando todo esto a fondo.

De hecho podemos remontarnos a hace un siglo, cuando Erlang calculó cuándo se saturarían las líneas telefónicas de una ciudad. En su honor se definió la unidad de carga en redes de telefonía.

Básicamente lo que nos interesa en el caso del supermercado es un único estadístico que mide directamente el nivel de cabreo del cliente: cuánto tiempo tiene que esperar antes de que le atiendan. Las dos alternativas de sistema son:

1. Una única cola y un número M de cajas para atender a clientes (1 cola / M cajas).

2. M cajas, cada una con su cola (M colas / M cajas).

En este tipo de estudios estadísticos no tenemos ni idea de cuándo llegarán los clientes, pero la sincronización es importante porque si llegan muchos a la vez se formarán colas más largas. Para modelar esto matemáticamente se asume que existe una distribución de probabilidad uniforme y constante de que aparezca un cliente, lo que lleva a una distribución exponencial de los períodos desde que llega un cliente hasta el siguiente.

Aunque parezca un modelo un poco rebuscado y artificial, es el mejor posible cuando se asume que cada persona va a su bola y llega a una hora que es independiente (estadísticamente) de lo que hacen los demás.

Desde el punto de vista del número de clientes atendidos por minuto, los dos sistemas son equivalentes. Es más, el tiempo medio que transcurre desde que un cliente llega hasta que se le atiende también son iguales, dividiendo el tiempo total de funcionamiento entre el número total de clientes que pasan por el sistema.

Pero desde el punto de vista del cliente, es mejor el sistema de cola única debido al sesgo de muestreo: si por lo que sea se forma un pequeño retraso en una de las M colas, ese retraso será "notado"por muchos clientes al haberse formado más cola. Que en ese mismo momento haya otros pocos clientes que encuentren cajas libres no es suficiente para bajar la media del tiempo de espera subjetivo.

La siguiente gráfica resume muy bien el resultado: son los tiempos medios que los clientes esperan hasta ser atendidos en cada uno de los sistemas (negro: cola única), para distintos valores de número de cajas abiertas (M=2, 5, 10 y 20).

Se ve claramente que ya desde sólo dos cajas se nota una disminución de hasta el 33% en el tiempo de espera. ¡Con los mismos recursos materiales y de personal, sólo cambiando la organización de la cola!

Más información en el blog ciencia-explicada