Entre la segunda y la tercera dimensión hay infinitas dimensiones: la geometría fractal

La geometría es sencilla, o eso solemos creer. Los damos en el colegio y, de hecho, la bebemos desde que somos retacos incapaces de ponerse en pie. Figuras de distintas formas que solo encajan en el agujero adecuado, programas en los que dibujos animados repiten insistentemente el nombre de las figuras que parpadean en la pantalla: triángulo, rectángulo… rara vez llegan al icosaedro. Sin embargo, esto no es todo. La geometría se ha vuelto mucho más compleja desde aquellos sencillos tiempos griegos en los que Euclides redactó sus Elementos. No hace falta que entremos en la geometría no euclidiana, donde dos rectas paralelas pueden, contra toda intuición, cruzarse. Podemos quedarnos con una geometría diferente e incluso más desconocida por el público general.

Si lo pensamos con detenimiento nos daremos cuenta de que, a pesar de la ubicuidad de los triángulos y los pentágonos, estos no son demasiado frecuentes en la naturaleza. De hecho, su existencia suele estar asociada a objetos artificiales, creados por nosotros. Las montañas no son exactamente triángulos, las nubes no son óvalos y las costas no son líneas suaves. Trabajamos con una geometría muy abstracta y tratamos de amoldar la realidad para que encaje lo máximo posible con ella, pero ¿existe acaso una alternativa? Hay alguna forma de estudiar los contornos de la naturaleza con más rigor y sin recurrir a dodecaedros y prismas. Ese es precisamente el cometido de la geometría fractal y uno de los conceptos más desconcertantes de la matemática: las dimensiones decimales.

Un mundo rugoso

La idea ya estaba en el aire cuando Benoit Mandelbrot dio de bruces con ella, pero nadie la había mirado de la manera en que lo hizo el matemático polaco. Por aquel entonces ya trabajaba para IBM y la fortuna le había permitido llevar las matemáticas a las disciplinas más dispares, ya fuera en su jornada laboral o durante sus ratos libres. Él no se preocupaba por la abstracción de la teoría de números o la topología, lo que reclamaba su atención era el mundo real, aquello que bombardeaba sus sentidos y que podía ser estudiado con el poder de la matemática. Uno de los campos que más hibridó fue la economía y cuentan los biógrafos que, en 1960, cuando acudió al Centro Littauer para dar una conferencia sobre la distribución de las rentas, se quedó estupefacto al ver que sus conclusiones ya estaban graficadas sobre la pizarra. Pronto se dio cuenta de que aquello era otra cosa, concretamente el precio del algodón durante los últimos ocho años. Aquel calco no podía ser casual, tenía que deberse a algo y así es como comenzó a tirar del hilo de los fractales.

Tras mucho estudio se dio cuenta de que los valores (tanto de las rentas como del algodón) variaban manteniendo una autosimilitud. Esto significa que no importa cuánto nos acercáramos o alejáramos a sus gráficas, sus entradas y salidas estaban proporcionadas a todas las escalas, haciendo que fuera indistinguible sus rugosidades independientemente de cuánto las ampliáramos. Esta propiedad estaba presente en unas figuras aparentemente desconectadas de la realidad con las que otros matemáticos habían estado coqueteando. Mandelbrot decidió llamarlas fractales, por su aspecto eternamente fracturado, pero aun quedaban muchos pasos por dar.

La costa infinita

Posiblemente, el artículo más famoso del genio polaco fue aquel que versaba acerca de la infinitud de la línea de costa de los países. Su premisa era sencilla, las costas están llenas de entrantes y salientes, tanto a la escala de las rocas, como a la de los átomos. Eso significa que, si tomamos una cinta métrica de 1 kilómetro y tratamos de ajustarla a la costa para medir su contorno, nos comeremos entrantes y salientes haciendo que nuestra medida se quede corta. A medida que tomemos cintas métricas más pequeñas la medida será más real y larga, haciendo a la línea de costa (en teoría) infinita si tuviéramos la cinta métrica adecuada.

No obstante, Mandelbrot vivía en un mundo real, como hemos dicho, y era consciente de que no todas las costas eran igual de rugosas (y quien dice las costas dice las nubes, las cortezas de los árboles o las montañas. De hecho, se dio cuenta de que, si bien una línea no fractal tiene 1 dimensión y que un plano tiene dos dimensiones, las extrañas costas de los países en su infinitud de pliegues, debían estar en algún punto entre esas dos dimensiones. Así es como la costa de Sudáfrica tiene una dimensión de 1,02 mientras que la de Gran Bretaña alcanza la dimensión 1,25.

Estas dimensiones han sido determinantes para entender el mundo que nos rodea, estudiar terrenos, analizar la malignidad de un cáncer, hacer películas de animación e incluso crear mundos virtuales coherentes y capaces de crearse a sí mismos sin límite. De hecho, los fractales han llegado incluso a convertirse en una moda y su fiebre poseyó a la matemática durante cierto tiempo. Ahora son parte de la ciencia, de la física, de la biología y de nuestro mundo.

QUE NO TE LA CUELEN:

• Evidentemente, la costa de un país no es un fractal absoluto, sino aproximado, como todos los naturales. Los entrantes y salientes no progresan hasta el infinito, sino que se ven limitados por las partículas subatómicas que conforman toda la materia. Por este motivo no es completamente cierto que las costas de la naturaleza sean realmente infinitas y, de hecho, las dimensiones fractales son una herramienta que nos ayuda a entender la realidad, pero que no son equiparables a las dimensiones espaciales que dar forma a nuestro universo.

REFERENCIA (MLA):

• Fernández-Martínez, M., and M.A. Sánchez-Granero. “Fractal Dimension For Fractal Structures: A Hausdorff Approach Revisited”. Journal Of Mathematical Analysis And Applications, vol 409, no. 1, 2014, pp. 321-330. Elsevier BV, doi:10.1016/j.jmaa.2013.07.011. Accessed 7 July 2021.
• Negi, Ashish et al. “A Review On Natural Phenomenon Of Fractal Geometry”. International Journal Of Computer Applications, vol 86, no. 4, 2014, pp. 1-7. Foundation Of Computer Science, doi:10.5120/14970-3157. Accessed 7 July 2021.