Sociedad

A+B=C: La pregunta más polémica de las matemáticas

La conjetura ABC ha atraído la atención de los matemáticos desde sus comienzos, pero hace ya unos años que ha pasado a convertirse en una historia llena de intrigas y orgullos digna de una telenovela.

Foto de stock con letras mezcladas. No tiene nada que ver con la conjetura ABC más allá de compartir las letras.
Foto de stock con letras mezcladas. No tiene nada que ver con la conjetura ABC más allá de compartir las letras. FOTO: Geralt

Por algún motivo la gente suele pensar que toda la matemáticas están descubierta. Que ya no esconden misterios y que por ellas no pasan los años, pero es un error fácil de demostrar.

Pensemos en algo extremadamente sencillo, como las sumas. Todos entendemos cómo funcionan, cómo construir nuevos números con ellas: sumando un uno tras otro para ir de un dígito al siguiente. También conocemos bastante bien la multiplicación, en este caso la clave no está en la unidad, sino en los números primos, esos mayores o iguales que dos y que solo se pueden dividir entre sí mismos y la unidad sin que el resultado tenga decimales (2, 3, 5, 7, 11, 13…) Ellos son las piezas básicas y multiplicándolos entre sí podemos conseguir todos los que faltan (2x2=4, 2x3=6, 2x2x2=8)

De hecho, sabemos que si multiplicamos dos números y descomponemos el resultado en los números primos que lo forman, serán los mismos que los de los dos números que multiplicamos para obtenerlo. Por ejemplo, 4x10=40: cuatro es 2x2, diez es 2x5, por lo que 40 tendría que ser 2x2x2x5 y efectivamente, lo es. Es algo semejante a que 2+3=5 puede entenderse como que dos es 1+1, tres es 1+1+1 y al sumarlos, cinco es 1+1+1+1+1. Hasta ahora todo han sido matemáticas de primaria y solo pido que demos un pasito más.

Solo un pasito más

Hasta aquí todo es muy predecible e incluso aburrido, pero ¿serías capaz de adivinar los números primos en los que se descompone el resultado de una suma? ¿Cómo se relacionan los dos mundos que acabamos de ver? Me explico.

3+7=10

Quién me iba a decir que, sumando un 3 y un 7 obtendríamos un número cuyos factores primos serían el 2 y el 5 (2x5=10), dos números que no estaban en la suma original (3+7). El único factor primo de la suma de 12 y 15 es el 37, porque es primo. Así pues, ¿en cuántos factores primos se podrá descomponer la suma de dos números cualesquiera? Es sencillo calcularlo uno por uno, pero no conocemos la regla que hay tras esto. Como ves, no importa cuántas matemáticas hayas estudiado, muchos conceptos aparentemente básicos están rodeados por una fina capa protectora que nos separa de lo ignoto, apenas unos milímetros de margen, frente a los metros de fuselaje que aparenta haber.

La conjetura ABC va más o menos en esa línea y, aunque no plantea ninguna regla que nos permita resolver el problema, sí que nos daría alguna pista para encontrarla. Su origen se remonta a 1985 y al principio era llamada como conjetura de Oesterlé–Masser y nace de la siguiente idea:

Existe una cantidad infinita de grupos de tres números primos correlativos (esos con los que aprendimos a contar: 1, 2, 3…) en los que la suma de dos de ellos dé lugar al tercero (por ejemplo: A+B=C -> 5+27=32) y que el resultado de multiplicar todos sus factores primos no repetidos entre sí (lo que se llama “radical”) sea menor que el número más grande de los tres. Por ejemplo: si descomponemos estos tres números en factores primos veremos que tenemos ocho veces el 2 y una vez el 3, por lo que su radical es 5x3x2=30, que es menor que 32 (vamos, el valor de “C”). De hecho, podemos añadirle algo más, si queremos que esos tres números sean primos consecutivos, también encontraremos una infinidad de tríos con un radical menor que C, aunque no será lo más frecuente, lo normal es que C sea mayor que el radical de (AxBxC). Es más, de los 3.044 tríos que podemos hacer siendo A y B menores de 100, solo 7 tienen un radical más pequeño que C.

Teniendo esto en cuenta, la conjetura ABC dice que, esa infinidad de tríos coprimos se vuelve limitada si elevamos el radical a un número entre 1 y 2 (por ejemplo 1,5) antes de compararlo con C. De este modo, muchos de los que se quedaban a las puertas, como el ejemplo anterior, pasarían a ser mayores que C (30 elevado a 1,5 es igual a 164,32, muy superior a 32).

Aunque claro, una conjetura es algo que no está demostrado, que se sospecha esperando la confirmación que lo vuelta teorema, o un contraejemplo que lo suma en el olvido. Y ahí está la magia, porque si resulta que la conjetura ABC es cierta, se demostrarían automáticamente muchas otras conjeturas. Es lo que se llaman “pruebas condicionadas”, porque, aunque ninguna de ellas ha sido demostrada, sí que se ha probado la necesaria dependencia entre estas: si una es cierta, la otra también tiene que serlo. Entonces ¿Ha demostrado alguien la conjetura de ABC? Pues depende de en qué país preguntes.

Ciencias exactas (o no tanto)

Shinichi Mochizuki es uno de esos genios de las matemáticas con una trayectoria sólida a sus espaldas. Con 27 años demostró la conjetura de Grothendieck a los 30 dio a luz la teoría de Hodge-Arakelov y a los 39 la de frobenioides. Por eso, cuando en 2012 dijo haber demostrado la conjetura ABC, la comunidad se tomo aquello como algo muy serio. Se trataba de una publicación de más de 500 páginas sobre la que se lanzaron inmediatamente los expertos en teoría de números. Sin embargo, aquel trabajo no solo era largo, sino un galimatías. Estaba repleto de definiciones nuevas, conceptos clásicos a los que rebautizaba a su antojo y aplicaciones extrañas de un campo, ya de por sí poco conocido: la geometría anabeliana. Pocos fueron capaces de terminar de leer el artículo y todavía menos los que creyeron haberlo entendido. A excepción de sus discípulos, acostumbrados, tal vez, a la forma de pensar de Mochizuki.

No obstante, que él afirmara tener la prueba no quería decir que la conjetura hubiera sido demostrada ¿Y si entre aquella infinidad de conceptos había algún error? Encontrarlo no sería tarea de una noche, ni de un mes, ni siquiera de un año. El artículo se quedó congelado, publicado tan solo en la web del propio Mochizuki durante mucho tiempo. Así siguió hasta que, seis años después, Jakob Stix y Peter Scholze soltaron la bomba: la demostración tenía un fallo y, por lo tanto, Mochizuki no había probado la conjetura ABC. Aquellos dos matemáticos no eran mentes cualesquiera, Stix era experto en geometrías anabelianas, la piedra angular del trabajo de Mochizuki y Scholze, a sus 24 años, ya contaba con una medalla Fields, uno de los mayores galardones que puede ganar un matemático. El golpe fue demoledor.

Según ellos, el problema estaba en el corolario 3,12 de aquel interminable artículo, algo normal teniendo en cuenta que demostrar la conjetura no era la parte central de aquella obra, sino algo que deducía del resto de su trabajo. Al parecer, aquello no estaba tan bien hilado como Mochizuki decía y existía al menos un salto de fe que las ciencias exactas, por definición, no pueden consentirse. En las matemáticas, cada enunciado tiene que deducirse perfectamente del anterior, haciendo que cada paso sea demostrable y vaya más allá de toda duda. Los defensores de Mochizuki, como Ivan Fesenko, han llegado a decir que o bien Stix y Scholze no han profundizado correctamente en los pasos llevados a cabo por Mochizuki, o bien les incomoda el uso de nuevas herramientas como la geometría anabeliana para la resolución de conjeturas antiguas. En cualquier caso, ellos no son los únicos que han expresado su duda, de hecho, pocas voces autorizadas han apoyado a Mochizuki aparte de sus estudiantes y amigos cercanos. Aunque para Fesenko esto no es sospechoso, porque a fin de cuentas la geometría anabeliana es un campo que no mucha gente domina y menos fuera de Japón, donde todos conocen a Mochizuki.

En cualquier caso, aquella contienda quedó en el aire, el matemático japonés no aceptó la crítica, bien porque no quiso o no supo corregirlo. Desde entonces no hubo más noticias, hasta que hace unas semanas se anunció que la demostración sería, al fin, oficialmente publicada. Esto es algo fundamental para cualquier investigación, pues para ser publicada en una revista indexada tiene que pasar lo que se conoce como una revisión por pares, que básicamente, consiste en que varios expertos en el tema del artículo validen el contenido de este, recomendando cambios si fueran necesarios. Así que, ¿quién había respaldado la demostración de Mochizuki? Y lo que es más importante ¿Era la misma que en 2012?

Durante la rueda de prensa en la que se anunció (y a la que no asistió Mochizuki) se confirmó que las críticas de Stix y Scholze no habían sido tenidas en cuenta por lo que, en teoría, los fallos seguían estando ahí. En cuanto a quién revisó su trabajo, normalmente estos procesos son anonimizados, pero en este caso no es del todo relevante, porque resulta que la revista en la que será publicado, PRIMS (Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences), tiene como editor al mismísimo Mochizuki. Está claro que esto no viola ninguna norma, pero tampoco se ve con buenos ojos en la comunidad. De hecho, Mochizuki había dicho en varias ocasiones que no quería publicarlo en PRIMS, precisamente para evitar este tipo de sospechas. Pero entonces ¿por qué ha cambiado de opinión?

Pensar mal es sencillo, pero para ser justos, si su obra fuera realmente tan inasequible como dice, incluso para las mentes más brillantes de las matemáticas, es esperable que otras revistas no hayan podido encontrar revisores para sus artículos. También es cierto que, en ese caso, puede que lo mejor hubiera sido esperar un poco más e ir publicando por partes esas 500 páginas, acercando sus métodos a la comunidad para trabajar en equipo y permitir que otros se nutran de su trabajo y que puedan valorarlo como se merece. No obstante, las declaraciones de Mochizuki no le muestran muy dado a este tipo de colaboraciones sugiriendo que sus contribuciones son un salto tal en la disciplina que al resto de matemáticos les resultarían tan ajenas como las matemáticas corrientes a la gente de a pie.

Si somos estrictos y rigurosos, la conjetura ABC no ha sido demostrada todavía, ni aquí ni en Japón. Sin embargo, sus colegas nacionales parecen tener una opinión diferente que, reafirmada por la inminente publicación del artículo, generan un extraño sentir en las ciencias exactas, que parecen no serlo tanto como pensábamos cuando se trata del país del Sol naciente. Esta es una de las grandes telenovelas científicas. Una historia de pasiones que todavía se está escribiendo y que demuestra que las matemáticas están más vivas y cambiantes que nunca.

QUE NO TE LA CUELEN:

  • La conjetura ABC no ha sido probada, pues no hay consenso en la comunidad y las objeciones de Stix y Scholze no han sido respondidas de forma satisfactoria. Incluso si Mochizuki tuviera razón, es necesario aguardar hasta que afine su demostración o dé respuesta a algunos interrogantes.
  • A pesar de todo esto, nadie niega que la contribución de Mochizuki sea realmente importante, de hecho, el artículo en cuestión está repleto de ideas interesantes que podrían hacer avanzar notablemente algunas ramas de las matemáticas.

REFERENCIAS (MLA):