El número pi vincula la física cuántica y la matemática

En 1655, el matemático Inglés John Wallis publicó un libro en el que derivó una fórmula para pi como el producto de una serie infinita de relaciones. Ahora, investigadores de la Universidad de Rochester, en Nueva York, Estados Unidos, han encontrado la misma fórmula en los cálculos de mecánica cuántica de los niveles de energía de un átomo de hidrógeno, como describen en un artículo sobre su trabajo que se publica en 'Journal of Mathematical Physics'.

"No estábamos buscando la fórmula de Wallis para pi. Simplemente, cayó en nuestro regazo", relata Carl Hagen, físico de partículas en la Universidad de Rochester. Habiendo notado una tendencia interesante en las soluciones a un conjunto de problemas que había desarrollado para los estudiantes en una clase en la mecánica cuántica, Hagen reclutó al matemático Tamar Friedmann y ambos se dieron cuenta de que esta tendencia fue, de hecho, una manifestación de la fórmula de Wallis para pi.

"Fue una completa sorpresa. Salté hacia arriba y hacia abajo cuando llegamos a la fórmula de Wallis en ecuaciones para el átomo de hidrógeno", cuenta Friedmann. "Lo especial es que se pone de manifiesto una hermosa conexión entre la física y las matemáticas. Me parece fascinante que una fórmula puramente matemática del siglo XVII caracterice un sistema físico que fue descubierto 300 años después", añade.

En la mecánica cuántica, se puede emplear una técnica llamada enfoque variacional para aproximar los estados de energía de los sistemas cuánticos, como moléculas, que no se pueden resolver con exactitud. Hagen estaba enseñando la técnica a sus alumnos cuando decidió aplicarlo a un objeto del mundo real: el átomo de hidrógeno. El átomo de hidrógeno es en realidad uno de los sistemas mecánicos cuánticos raros cuyos niveles de energía se pueden resolver con exactitud, pero aplicando el enfoque variacional y luego comparando el resultado con la solución exacta, los estudiantes podrían calcular el error en la aproximación.

Cuando Hagen comenzó a resolver el problema él mismo, de inmediato se dio cuenta de una tendencia. El error del enfoque variacional era alrededor del 15 por ciento para el estado fundamental del hidrógeno, 10 por ciento para el primer estado excitado y cada vez menor a medida que los estados excitados se hacían más grandes. Esto era inusual, ya que el enfoque variacional normalmente sólo da buenas aproximaciones de los niveles de energía más bajos.

Hagen reclutó a Friedmann para que echara un vistazo a lo que sucedería con el aumento de la energía y encontró que el límite de la solución variacional se acerca al modelo de hidrógeno desarrollado por el físico Niels Bohr en el siglo XX, que representa a las órbitas del electrón como perfectamente circulares. Esto se podría esperar del principio de correspondencia de Bohr, que establece que para las órbitas de grandes radios, el comportamiento de los sistemas cuánticos puede ser descrito por la física clásica.

"En las órbitas de energía más baja, la trayectoria del electrón es borrosa y dispersa --explica Hagen--. En los estados más excitados, las órbitas se vuelven más claramente definidas y la incertidumbre en el radio disminuye". De la fórmula para el límite de la solución variacional a medida que la energía aumentó, Hagen y Friedmann fueron capaces de sacar la fórmula Wallis para pi.

La teoría de la mecánica cuántica se remonta a principios del siglo XX y la fórmula de Wallis ha existido durante cientos de años, pero la conexión entre las dos había permanecido oculta hasta ahora. "La naturaleza había mantenido este secreto durante los últimos 80 años --apunta Friedmann--. Me alegro de que lo reveláramos".