El matemático que se hizo famoso por la mayor de las perogrulladas

Hazme un favor y concédeme un párrafo para demostrarte el nivel de perogrullada del que estamos hablando. Imagina los clásicos ejes de coordenadas: una línea horizontal cruzada por otra vertical, ambas infinitamente largas. A continuación, imagina que hay un punto dibujado sobre la línea horizontal y otro por debajo. Ahora visualiza que coges un lápiz y, sin levantarlo, unes ambos puntos. Pues bien, lo que hizo el bueno de Bernard Bolzano fue demostrar que no puedes dibujar esa línea sin cruzar el eje horizontal que separa ambos puntos. Parece el equivalente matemático a descubrir la rueda o que el agua moja ¿verdad?

El famoso teorema de Bolzano, una de sus muchas contribuciones a las matemáticas, pero aquella por la que le conocen desde los estudiantes de instituto hasta los catedráticos. Y para ser sinceros, por muy evidente que parezca, una cosa es intuirlo y otra demostrarlo matemáticamente más allá de toda duda. Y precisamente por eso Bernard merece hasta el último aplauso, pero deja que te cuente por qué.

Un caso muy particular

Recuerdo haber escuchado hablar sobre Bolzano durante el instituto. Fueron varios los años en que nombraron su teorema. Puede parecer poco útil, pero en realidad es interesante para entender las funciones. Asumiendo que tenemos una función continua (que puedes dibujar entera sin levantar el lápiz del papel) y que tiene valores positivos y negativos en su eje de ordenadas (el vertical donde se representan los valores de Y) podemos asumir que la función pasa al menos una vez por el valor Y=0 o, dicho de otro modo, que atraviesa el eje horizontal o de abscisas.

Incluso tras enunciarlo de esta forma puede parece absolutamente anodino, pero eso es porque lo que Bernard Bolzano demostró en 1817 fue lo que se llama: un caso particular. Concretamente un caso particular del teorema del valor medio. Y para aclararlo, cuando se habla de casos particulares en matemáticas nos referimos a una afirmación con condiciones muy restringidas. Por ejemplo, puede resultarnos difícil demostrar que todas las personas del mundo han estornudado al menos una vez en su vida, pero parece mucho más fácil demostrar que todas las personas conscientes que en algún momento de su vida se han acatarrado han estornudado al menos una vez. La verdad es que he hecho una reducción bastante absurda, que no una reducción al absurdo, pero ayuda a hacerse una idea de lo que estamos hablando. En cualquier caso, volvamos con Bernard.

Lo que Bernard había hecho era realmente remarcable, porque para demostrar su, por aquel entonces conjetura, había tenido que recurrir a campos de las matemáticas tan apartados de lo ordinario como la topología. No obstante, su generalización con el teorema del valor intermedio es mucho más atractivo, y ahora verás por qué.

Teorema del valor intermedio

La generalización del teorema de Bolzano dice que, si una función es continua a lo largo de un intervalo en cualquiera de los dos ejes, podemos asumir que pasará por todos los valores intermedios a los extremos de ese intervalo. Por ejemplo, si una línea va del 2 al 13 en el eje horizontal, sabemos que tendrá que pasar por el 3, y el 4, y el 10 y todos los números que hay entre el 2 y el 13. Al ser un teorema es algo que ha sido demostrado y por lo tanto nos permite sacar conclusiones de cualquier función que cumpla las condiciones que hemos dado, lo cual simplifica muchísimo su análisis. Pero no se queda ahí, porque podemos utilizarlo para situaciones de nuestro día a día, desde partir un bocadillo hasta calzar una mesa que cojea.

Lo bueno de este tipo de teoremas es que, aunque parezcan hablar de gráficas y números, muchas veces son abstracciones generalizables a cosas de nuestro día a día. Por ejemplo, en una ocasión lo escuché enunciado de una forma bastante irreconocible. Estaba en una sobremesa cuando uno de los comensales decidió preguntar si podíamos asegurar que siempre había una forma de dividir una pizza en dos partes iguales con un solo corte recto, sin importar la forma que tuviera la pizza. A simple vista no parece tener mucho que ver con el teorema del valor intermedio, pero solo tenemos que transformar un poco el planteamiento.

Imaginemos que colocamos la pizza ante nosotros y visualizamos una línea horizontal frente a nosotros que representa el corte que vamos a hacer. Al principio la línea está bajo la pizza y podemos decir que nuestro trozo no existe, es nulo. Sin embargo, si desplazamos un poco esa línea imaginaria hasta que se superponga con la pizza tendremos un trozo pequeño para nosotros. Un trozo que irá creciendo según alejemos la línea de nosotros hasta que haya recorrido la pizza entera y nuestro trozo pase a ser la pizza entera. Si hiciéramos con esto una gráfica veríamos que se forma una línea continua representando el tamaño de nuestro trozo de pizza. Una línea que va del cero al 100% de la pizza de forma continua. Eso significa que, por el teorema del valor intermedio, habrá un punto en el que nuestro trozo valga el 50%, dejando por lo tanto la mitad de la pizza a cada lado del corte.

Y hay más, porque eso significa que podemos dividirla en tantas iguales partes como queramos sin importar su tamaño, ya que todos los valores están comprendidos en el intervalo que hemos definido. Y claro, lo mismo ocurre para cualquier objeto, sea más o menos rebuscado. Aunque reconozcamos que no tenemos pensado poner este conocimiento en práctica la próxima vez que comamos pizza. A no ser, claro, que la mesa en la que cenemos esté coja. Porque ahora sí, esta aplicación sí que es verdadera magia.

Cómo calzar una mesa usando las matemáticas

Esta aplicación es tal vez algo más complicada de visualizar que la de la pizza, pero mucho más útil. Todos nos hemos enfrentado alguna vez con una mesa que, a pesar de esta bien hecha, cojea porque el suelo sobre el que está es irregular. Para solucionarlo solemos recurrir a un trozo de papel doblado, pero hay una forma mucho más elegante de hacerlo. Una manera que nos ahorra tener que manipular papel y agacharnos de forma poco honrosa. Todo lo que tenemos que hacer es girar la mesa un poquito. Y cuando digo un poquito es que absolutamente siempre se soluciona antes de completar un cuarto de vuelta. Una vez más, el teorema del valor intermedio se materializa como cuasi-magia.

La idea es que, en todo momento, no importa lo irregular que sea el terreno, siempre habrá tres patas tocando el suelo (otra cosa es que la mesa esté paralela al suelo o se haya convertido en un tobogán) En cualquier caso, tendremos tres patas a la altura del suelo y una algo elevada. Pues bien. El teorema del valor intermedio dice que si hacemos girar la mesa hasta que la pata coja ocupe el lugar que antes tenía una de sus patas vecinas (y asumimos que el suelo bajo la mesa no tiene escalones que cambien la altura de forma abrupta) tendrá que pasar por todas las alturas de suelo intermedias entre esos dos puntos. Haciendo cálculos podemos ver que habrá al menos un punto en cada cuarto de vuelta donde las cuatro patas encuentren una altura del suelo en la que todas ellas puedan hacer pie.

Como decía, es algo más difícil de visualizar, sobre todo por escrito, pero la parte positiva es que puede demostrarse con facilidad. Solo necesitarás tomar el control la próxima vez que tus amigos se quejen de una mesa coja, girar la mesa un poquito y ver sus caras es asombro. Aprovecha, es el momento perfecto para contarles cómo Barnard Bolzano ha pasado a la historia por demostrar la perogrullada más interesante de la historia.

QUE NO TE LA CUELEN:

• Bolzano hizo cosas muy interesantes e incluso demostrar su famoso teorema (que ni siquiera fue el único) tuvo un gran mérito. Es divertido bromear con la trivialidad de lo evidente, pero en matemáticas incluso demostrar lo evidente puede ser una pesadilla.
• El truco de la mesa no funciona en superficies planas donde una de tus patas es desigual. Recomendamos tenerlo en cuenta para no hacer el ridículo ante tus amigos.

REFERENCIAS (MLA):

• Baritompa, B., Löwen, R., Ross, M. and Polster, B., 2018. Mathematical Table Turning Revisited. [online] Arxiv.org. Available at: .
• Bolzano, B. and Russ, S., 1980. A TRANSLATION OF BOLZANO’s PAPER ON THE INTERMEDIATE VALUE THEOREM. [online] Available at: [Accessed 6 August 2020].