¿Qué dice la legislación vigente?

¿Puede acordar un juez la libertad provisional por enfermedad grave?

Sí. Lo puede acordar tanto de oficio como a instancias de parte, es decir, de la Fiscalía o defensa.

¿Dónde se recoge tal posibilidad?

En el artículo 508 de la Ley de Enjuiciamiento Criminal: «El juez o tribunal podrá acordar que la medida de prisión provisional del investigado o encausado se verifique en su domicilio, con las medidas de vigilancia que resulten necesarias, cuando por razón de enfermedad el internamiento entrañe grave peligro para su salud».