Matemáticas para evitar los atascos

Los atascos siguen siendo un gran problema en las ciudades grandes. Pero la teoría de juegos desvela paradojas y propone posibles soluciones.

Dos carreteras atascadas
Coches a los que les da igual elegir una carretera u otra FOTO: lynac Creative Commons

Quizá seas una de esas personas que se levantan por la mañana para quedar atrapadas en un atasco de camino al trabajo. Desde luego, es bien conocido que el tráfico es uno de los grandes problemas por resolver. Pero las matemáticas son claves para gestionarlo mejor.

La herramienta clave para estudiar el tráfico es la teoría de juegos. Sí, la que estudiaba John Nash en Una mente maravillosa. Él la utilizaba para ligar, pero tiene muchas más aplicaciones. Unas elecciones donde cada ciudadano decide a quién votar, la bolsa donde cada inversor decide qué acciones comprar o vender, el tráfico donde cada conductor decide qué carretera tomar… Son todas situaciones donde varias personas pueden optar por estrategias alternativas. Si las decisiones se toman de manera racional, la situación se puede estudiar con teoría de juegos.

Resultados paradójicos

Y precisamente aplicando la teoría de juegos al tráfico salen a la luz paradojas como la de Braess. Resulta que, a veces, al construir una nueva carretera, todos los trayectos se ralentizan, incluso si no aumenta el volumen de tráfico. En estas ocasiones, cerrar carreteras reduce los atascos.

Parece anti-intuitivo, y lo es. ¿Por qué ocurre este efecto? Cuando conducimos, decidimos qué ruta tomar para llegar lo antes posible a nuestro destino. Lo mismo hace el resto de conductores, y está claro que, si la carretera está atascada, tardaremos más tiempo en recorrerla que si está prácticamente vacía.

El problema es que, naturalmente, cada conductor elige la ruta que más le conviene desde un punto de vista individual, sin pensar en las consecuencias para el resto de vehículos. Y, a veces, este comportamiento es precisamente el que crea los atascos.

Un dilema matutino

Pongamos un ejemplo simplificado para entender la situación. Supongamos que, en una ciudad, hay 4.000 personas que quieren llegar de un barrio residencial (llamémoslo “casa”) a un complejo empresarial (el “trabajo”). Tienen dos posibles recorridos; supongamos que uno pasa por un punto A y el otro, por un punto B, como se muestra en la imagen.

A veces, añadir un atajo provoca atascos
A veces, añadir un atajo provoca atascos FOTO: Reb42 Creative Commons

La carretera que va de casa al punto A es muy sensible al tráfico, de modo que el tiempo que se tarda en recorrerla es el número de vehículos (llamémoslo “V”) dividido entre 100. Lo mismo sucede con la que va de B al trabajo. Por el contrario, la carretera que va del punto A al trabajo es tan amplia que siempre se tardan 45 minutos en recorrerla, independientemente de cuántos coches haya. Esto es igual para la carretera que va de casa a B.

Supongamos, primero, que la línea punteada entre A y B no existe. Puesto que el tiempo total de recorrido depende del volumen de tráfico que haya, la ruta elegida por cada conductor dependerá de las elecciones del resto. La opción más favorable para todo el mundo es que la mitad de los vehículos vayan por un camino y la mitad por el otro. Así, la carretera variable tendrá un tiempo de recorrido de 2.000 entre 100, es decir, 20 minutos. Por tanto, el tiempo total de recorrido será de 65 minutos.

Imaginemos ahora que se construye una nueva carretera entre A y B. Es un atajo tan eficaz que se tarda aproximadamente 0 minutos en recorrerlo. Según se habilita el atajo, el primer conductor que lo pruebe irá de casa a A (tardando 20 minutos), después de A a B y luego de B al trabajo (ahora hay 2.001 conductores, por lo que tarda 20.01 minutos). En total, el recorrido dura 40.01 minutos.

El resto de conductores se da cuenta de la situación, y muchos copian el comportamiento del primero. Cada vez hay más coches que recorren el tramo desde B al trabajo, por eso el tiempo de recorrido cada vez es mayor. Cuando hay 2.500 coches que emplean la nueva ruta, cada uno tarda 25 minutos (entre casa y A) más 0 minutos (entre A y B) más 40 minutos (entre B y el trabajo, ya que ahora los 4.000 coches recorren ese tramo). En total, 65 minutos, lo mismo que tardaban cuando no había atajo entre A y B.

Pero los otros 1.500 coches que aún toman la ruta casa-B-trabajo se ven perjudicados, ya que ahora invierten 45 minutos (entre casa y B) más 40 minutos (entre B y el trabajo): 85 minutos en total, mucho peor que antes.

Por eso estos 1.500 conductores también optan por tomar el atajo. Ahora los 4.000 coches recorren la misma ruta, casa-A-B-trabajo. El resultado es desastroso: ¡cada uno tarda 80 minutos! Cuando el atajo no existía tardaban 65 minutos, ahí está la paradoja de Braess.

Claro está que, si todos los conductores se pusieran de acuerdo para que nadie usara el atajo A-B, todos ganarían tiempo. Pero la realidad es que esto no ocurre: en la carretera, cada persona decide por sí misma sin hablar con nadie más.

Con el atajo A-B, la ruta casa-A-B-trabajo es la óptima para cada conductor, dado que el resto de conductores elige esa misma ruta. Es lo que se llama un equilibrio de Nash en teoría de juegos: una vez alcanzado, nadie tiene incentivos para modificar su estrategia, porque no gana nada.

Éxito demostrado

La paradoja de Braess es la clave para entender por qué en 1969 en Stuttgart (Alemania) tuvieron que cerrar al tráfico una carretera recién construida, y solo así consiguieron reducir los atascos. O cómo, cuando cerraron la Calle 42 de Nueva York por el Día de la Tierra de 1990, hubo menos congestiones. O por qué la eliminación de una carretera en Seúl (Corea del Sur) en 2002 hizo que el tráfico fuera más fluido.

Claro está que, por mucha teoría de juegos que hayamos estudiado, el tráfico sigue siendo un grandísimo problema en las ciudades. La “hora” punta ya dura fácilmente dos. Y esto conlleva un coste económico considerable, aparte del impacto en el medioambiente y en la calidad de vida de las personas.

Pero queda algo de esperanza. De nuevo, las matemáticas pueden ayudar, como sucedió en Melbourne (Australia). Diseñaron una nueva estrategia para los semáforos que aumentó la velocidad del tráfico en un 25% en hora punta. Un cambio sencillo y baratísimo con repercusiones muy positivas.

Además, sigue habiendo mucha investigación científica en torno al tráfico; tanta, que se ha acuñado el término jamology (que se podría traducir como “atascología”). Los avances tecnológicos de las últimas décadas permiten tener información en tiempo real sobre el tráfico. Así, se puede monitorizar el uso de las redes de carreteras e incluso hacer recomendaciones a los conductores sobre qué ruta seguir en cada momento, como ya hacen muchas aplicaciones GPS.

Aunque la vida real va más allá de estos modelos. Nuestras decisiones no se limitan a elegir una carretera u otra. Podemos compartir coche con otra persona (y cada vez más aplicaciones para móvil facilitan la búsqueda de compañeros de viaje en tiempo real) o incluso optar por el transporte público. Estas decisiones también se pueden incorporar a los modelos matemáticos. Pero en todo caso, son las que más influyen en la magnitud de los atascos.

QUE NO TE LA CUELEN:

  • Hemos dicho que la teoría de juegos se aplica a situaciones donde varias personas pueden optar por estrategias alternativas, si las decisiones se toman de manera racional. En la vida real, las personas no somos totalmente racionales al tomar decisiones. Sin embargo, el éxito de intervenciones como las de Stuttgart, Nueva York o Seúl muestran que los modelos matemáticos sí describen la realidad de manera suficientemente fiable.

REFERENCIAS (MLA):