El reto matemático que cualquiera comprende pero nadie ha resuelto: La conjetura de Goldbach

Hace ya más de tres siglos que se selló una carta legendaria. Lo que había en ella era una suerte de acertijo, un reto tan sencillo que cualquier estudiante de primaria podría entenderlo. Sin embargo, se trata de un problema tan complejo de probar que las mayores mentes de la historia han fracasado intentándolo. Entre las líneas de aquella carta, una decía lo siguiente:

Ese es todo el problema. Los números enteros son esos con los que aprendimos a contar: el uno, el dos, el tres... Sin florituras. Un número primo es todo aquel mayor que uno y que solo puedes dividirlo entre sí mismo y la unidad sin que te salgan decimales: el dos, el tres, el cinco, el siete, el once… Eso y sumar es lo único que necesitas saber para comprender el problema, no hay más. Se trata de la conjetura que Christian Goldbach propuso a Leonhard Euler en 1742, la imbatible bestia que ha derrotado a cada gran mente que ha osado enfrentarse a ella. Sin embargo, estoy seguro de que una pequeña parte de ti se ha sentido tentada a ponerla a prueba. Así que ¿por qué no intentarlo?

Probemos con el ocho. Podemos hacerlo sumando tres y cinco, por lo que se cumple. ¿Y el catorce? Serían tres más once, y veinte es tres y diecisiete. Te aseguro que puedes probar con todos los que quieras, porque no encontrarás un solo caso en el que no se cumpla la conjetura. Y esto lo sabemos porque las algunas máquinas lo han intentado antes que tú. Los ordenadores han comprobado los primeros cuatro trillones de números, un cuatro seguido de dieciocho ceros. Podría parecer que con esto es suficiente para demostrar que la conjetura es cierta, a fin de cuentas, cuatro trillones de números apoyándola son muchos números. No obstante, a los matemáticos no les llega con eso. Tiene que estar seguros de que no hay por ahí un número perdido con el que no se cumpla, porque, por enorme que parezca, cuatro trillones se quedan en nada comparado con el infinito océano de cifras que hay ahí afuera.

Los matemáticos necesitan estar total y absolutamente seguros, todo lo demás es pura opinión y solo con opiniones no se hacen matemáticas. Así pues, hay mayormente dos formas de quedarse satisfecho. La primera es la más sencilla, la que todos intentamos cuando nos enseñan el problema: encontrar un contraejemplo, llevar la contraria, dar con un caso en el que no se cumpla para que podamos rechazar la conjetura. Eso es lo que hemos intentado, pero como hemos visto, no parece muy fructífero... aunque, espera. ¿Y el dos? Es un número entero y par, pero no es la suma de dos primos porque solo se puede formar sumando dos unos, y el número uno no es primo. ¡Para el 2 Goldbach no se cumple! ¿Es posible que hayamos resuelto la conjetura de Goldbach?

Me temo que no, porque este aparente despiste se trata de una curiosidad histórica. En el siglo XVIII el 1 todavía era considerado un número primo, por lo que Goldbach podía expresar el dos como “uno más uno” y quedarse tan tranquilo. De hecho, al excluir al uno de la lista de números primos hubo que actualizar la conjetura. La versión moderna sería algo así: “Que cada número entero par mayor que dos sea la suma de dos números primos me parece que ha de ser un teorema completamente cierto, pero no consigo probarlo” Así que olvidémonos del número dos y preocupémonos por el resto.

Como hemos visto todavía no se ha podido encontrar un contraejemplo, y aunque por definición aun queden infinitos números por probar, los matemáticos sospechan que por mucho que busquen no encontrarán un solo caso en que no se cumpla Goldbach. Sostienen que, a medida que los números crecen, también aumentan las maneras en que pueden expresarse. Por ejemplo: el diez puede hacerse sumando el cinco consigo mismo o el tres con el siete. El cien, por ejemplo, puede construirse de seis formas diferentes, y por lo que hemos visto, el número de combinaciones posible se dispara a medida que estudiamos números más grandes. De hecho, hay una forma muy visual de verlo: el cometa de Goldbach.

Se trata de una gráfica cuyo eje horizontal representa el número a estudiar y en la vertical encontramos de cuántas formas distintas podemos descomponerlo. La clave está en que el cometa no deja de crecer y se hace difícil pensar que en algún punto vaya a caer en picado marcando cero en el eje vertical, indicando un número par que no pueda ser construido mediante la suma de dos primos. No obstante, esto sigue sin ser una prueba suficiente. Es tan solo una sospecha, pero nada nos asegura que haya una excepción entre todos los números que no podemos comprobar a mano, por eso tenemos que cambiar de estrategia.

Por suerte existen otras maneras de demostrar una conjetura: encontrando un argumento general aplicable a todos los números y que demuestre que, si Goldbach fuera falso, las matemáticas tendrían que contradecirse a sí mismas. Algo así como buscar un sinsentido, mostrando que estamos ante algo imposible. Un ejemplo clásico de esta estrategia es el teorema de Euclides, que planteaba la existencia de infinidad de números primos. Su forma de demostrarlo fue la siguiente:

Tomemos unos cuantos números primos y multipliquémoslos entre sí, por ejemplo: 2x3x7. El resultado no es nunca un número primo, porque es divisible entre todos los anteriores dando, en este caso, 42. Ahora debemos sumarle un 1 y ¡bingo! Nosotros ya hemos conseguido un número primo, el 43, porque al sumarle un 1 deja de ser divisible entre los primos que hemos usado para construirlo. Sin embargo, no siempre es así, por ejemplo: 3x5+1 da 16, que no es primo. Y aquí está el truco final, porque, si el resultado no es primo y a la vez no es divisible entre los primos que hemos usado para construirlo, quiere decir que su divisor es un nuevo número primo, en este caso el dos: 2x2x2x2. Siguiendo estos pasos podemos construir tantos números primos como queramos, demostrando así que hay infinidad de ellos.

Este tipo de razonamientos son lo que buscan los matemáticos, formas de probar o negar conjeturas más allá de toda duda evitando inconsistencias lógicas. Sin embargo, estas aproximaciones tampoco han conseguido resolver la conjetura de Goldbach. Nada ha resultado, y aunque de vez en cuando aparece alguien diciendo haberla probado, son siempre falsas alarmas que no demuestran nada. Sin embargo, es posible que hayas escuchado que hace algunos años un matemático resolvió la dichosa conjetura de Goldbach, y es “verdad”, salvo que se trataba de la conjetura débil de Goldbach, algo muy distinto.

En 2013 Harald Andrés Helfgott consiguió demostrar la conjetura débil de Goldbach, que dice los siguiente: “Todo número entero impar mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres números primos” por ejemplo: 15 es la suma de 3, 5 y 7. La estrategia de Helfgott fue algo intermedio a las dos que hemos planteado.

Por un lado, los ordenadores ya habían calculado que la conjetura débil se cumplía para todos los enteros impares entre 5 y 8875x10^30(que representa, aproximadamente, un 9 seguido de treinta ceros). Por otro lado, algunos grandes expertos en teoría de números habían demostrado que, a partir de un número suficientemente grande, todos los siguientes tenían que cumplir la conjetura. La demostración de esto último es muy larga para este artículo, pero lo importante es tener claro que ese “número suficientemente grande” ha ido reduciéndose con mejores pruebas a lo largo de los años y que cuando Helfgot se enfrentó a la conjetura, este se encontraba en el 2x10^1346 (un 2 seguido de mil trescientos cuarenta y seis ceros).

Eso quiere decir que ya sabíamos que los números más grandes y los más pequeños cumplían la conjetura, pero entre ambos había un abismo enorme y su misión era reducirlo. Podía haber buscado mejores métodos de computación para que los ordenadores fueran capaces de calcular todavía más números por la fuerza bruta. Sin embargo 8875x10^30 ya era algo descomunal (para que te hagas una idea, se calcula que en el universo hay 1x10^80 protones) y por mucho que mejoraran, las máquinas no podrían alcanzar el 2x10^1346.

Así que Helfgot decidió enfrentarlo de otro modo e intentar reducir ese número “suficientemente grande” hasta hacerlo más pequeño que 8875x10^30 para que así la conjetura estuviera demostrada para todos los enteros a través de uno u otro método. Y lo logró, consiguió bajarla hasta solaparla con los cálculos por ordenador. La conjetura débil de Goldbach era cierta.

Mientras tanto, la conjetura fuerte sigue invicta y sin haber avanzado demasiado en las últimas décadas. Una sequía que en gran medida se debe a su complejidad, pero a la que pueden haber contribuido otras muchas cosas. No pocos profesionales creen que centrar su investigación en la conjetura de Goldbach es casi una condena al fracaso. Muchos de los que trabajan en ella lo hacen tímidamente, en su tiempo libre y sin poderle dedicar el tiempo que merece. Esta percepción es tan popular que se trata incluso en una de las novelas matemáticas más famosas: El tío Petros y la conjetura de Goldbach, de Apostolos Doxiadis.

A este paso la pregunta es evidente: ¿Se resolverá alguna vez la conjetura de Goldbach? ¿Será cierta y se consolidará como un teorema? ¿O en un inesperado giro de los acontecimientos tendrá que ser descartada? Solo queda esperar mientras el viejo enunciado de Goldbach resuena en nuestros oídos, como una canción de sirena que hace encallar contra los farallones a todo aquel que acepta bailar con ella.

QUE NO TE LA CUELEN:

• La conjetura todavía no ha sido demostrada. Es cierto que en 2013 Helfgot demostró la conjetura débil de Goldbach, pero cuando nos referimos a “la conjetura de Goldbach” se está hablando de la fuerte.
• El Teorema Fundamental de la Aritmética implica que el 1 no puede ser primo al decir que: cualquier número entero mayor que 1 puede escribirse como un único producto de números primos. Si aceptáramos al 1 como primo habría infinitas formas de descomponer cada número (10 sería 2x5, pero también 2x5x1, 2x5x1x1 y así sucesivamente). Hay más motivos, pero este es posiblemente el más sencillo de entender.

REFERENCIAS:

• Christian Goldbach, “Letter to Leonhard Euler” (Moscú, 7 de junio de 1742)
• Leonard Eugene Dickson “History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and Primality” Dover Books on Mathematics (2005)
• Harald Andrés Helfgott “Major arcs for Goldbach’s problema” arXiv (2013)
• Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog & Silvio Pardi, “Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4x10^18” Mathematics of Computation 83: 2033-2060 (2013)