Los números imaginarios ¿existen sólo en nuestra mente?

Los números se inventaron para contar. Intuitivamente, todos entendemos que “cinco manzanas” significa “manzana manzana manzana manzana manzana”. Podemos complicarlos un poco y hablar de “5,25 manzanas”, y todos entendemos que eso quiere decir que las manzanas pueden partirse y se puede añadir un cuarto de manzana a las que ya teníamos. La idea que hay detrás de todos esos razonamientos es que los números sirven para contabilizar, para medir. Por eso hay un tipo de número al que siempre nos acercamos con escepticismo, o incluso con la idea de que “eso no es un número de verdad”. Son los números imaginarios.

La noción de número imaginario es fácil de entender: se trata de números que elevados al cuadrado dan un número negativo. Esto es… sorprendente, cuando menos. Los números a los que estamos acostumbrados siempre tienen cuadrados positivos: cinco al cuadrado es veinticinco, 5,25 al cuadrado es 27,5625. Incluso los números negativos tienen cuadrados positivos: –2 al cuadrado es 4, porque menos por menos es más. Si nos ponemos a buscar entre los números que solemos manejar no encontraremos uno cuyo cuadrado dé –10, o –0,35. Por eso normalmente explicamos los números imaginarios como algo que añadimos a los números que ya tenemos. Nos inventamos un número especial, al que llamamos i, cuyo cuadrado vale –1; o sea, que i×i = –1.

i es la unidad imaginaria. Su papel es similar al de un 1, pero con esta propiedad rara de que su cuadrado es negativo. Si queremos un número imaginario cuyo cuadrado valga –25, lo podemos “fabricar” a partir de los números que ya conocemos y la i: está claro que ese número será 5i, porque 5i×5i = 5×5×i×i = –25. Todos los números que se construyen con un número “de los normales” y la i son números imaginarios. Otra manera de expresar estas ideas es decir que i es “la raíz cuadrada de –1″, i = √–1, pero esa definición es un pelín resbaladiza y no la usaremos aquí.

En este punto ya estamos armados con algo de criterio: ¿son los imaginarios números “de verdad”? ¿O son un frankenstein que hemos creado debido a un exceso de imaginación?

Números de verdad y números de mentira

Bueno, tal vez deberíamos llevar esa pregunta un poco más lejos: ¿son acaso los números algo “de verdad”? ¿Hay realmente números en el mundo que nos rodea? Ciertamente yo nunca me he encontrado a “el número cinco”, y no creo que exista tal cosa en el mundo. Sí existe el objeto “5″, pero eso es el signo que utilizamos para representar al cinco, no el número mismo. ¿Existen pues los números?

Pero quizá nos estamos poniendo un poco puntillosos. De acuerdo, el número cinco no es un objeto físico que exista en el mundo, pero claramente existen muchos grupos de cinco cosas. El cinco es una abstracción, es “lo que tienen en común todos los grupos de cinco cosas, por diferentes que sean esas cosas”. Y es verdad que hay muchos grupos de cinco cosas, y que todos tienen eso en común. ¿Quiere decir esto que el cinco “existe”? Eso queda al criterio del lector.

Pero claramente los imaginarios tienen problemas mucho más serios: nos pongamos como nos pongamos, no hay grupos de 5i cosas en el mundo. Esto tiene que querer decir que “existen menos” que el cinco, o que su existencia es más dudosa o de peor calidad. Bueno, pensemos entonces en los números negativos. ¿Hay grupos de –5 cosas en el mundo? Ciertamente no. A veces pensamos en los negativos como “una deuda, algo que le debemos a alguien, o que vamos a perder en cuanto lo consigamos”. Otras veces decimos “Si dar cinco pasos es caminar hacia delante, dar –5 pasos es caminar hacia atrás”. Pero ambos, de nuevo, son razonamientos que ocurren en nuestra cabeza. ¿Es real el –5? ¿Existe en nuestro mundo o nos lo inventamos?

Si nos empeñamos podemos encontrar problemas similares con todos los tipos de números. Consideremos, por ejemplo, la fracción ⅓; sabemos que su expresión decimal es 0,3333…, con infinitos decimales. Y cuando le decimos a alguien “quiero una tercera parte de ese bizcocho” en ningún momento pretendemos que nos dé los infinitos decimales: seguramente nos conformaremos con 0,3, o mejor, con 0,35. Podría ser incluso imposible partir el bizcocho en tercios perfectos, porque podría ser necesario dividir algunos átomos para conseguir todos los decimales – y si divides los átomos ya no es un bizcocho, es otra cosa. Algunos científicos han propuesto incluso que no tiene sentido hacer física con infinitos decimales, y que el mundo físico debería ser siempre, y en cualquier caso, finito. Son voces minoritarias y sus objeciones son de carácter más filosófico que práctico, pero su argumento no es un disparate.

La moraleja de esta historia es que que un número sirva para contar no lo hace más “real”, y que no sirva para contar no lo hace menos “de verdad”. Los números imaginarios son muy útiles para describir la propagación de una onda, y son indispensables para hacer cálculos en mecánica cuántica. ¿Los hace eso suficientemente “reales”?

¿Qué demonios son los números?

Ya lo hemos dicho hace un momento: en última instancia, los números son abstracciones. Algunas de esas abstracciones son más evidentes, como “lo que tienen en común todos los grupos de cinco cosas”, y otras son un poco más elaboradas y nos parecen algo lejanas. Pero en el momento en que uno empieza a jugar al juego de las abstracciones ya no puede escapar: hay preguntas lícitas que uno se puede hacer, y la respuesta a esas preguntas son otros números.

Por ejemplo, nos podemos preguntar “¿Qué número hay que sumarle a veintiuno para que dé veinticinco?”, y la respuesta es cuatro, claro. Podemos preguntarnos “¿Qué pasa si dividimos uno entre tres?”, y la respuesta es que obtenemos un tercio. Parecen preguntas inocentes, y perfectamente lícitas. Pero si éstas lo son ¿qué pasa con la pregunta “Qué número hay que sumar a veintiuno para que dé diecinueve”? La respuesta es –2, claro. ¿Vale o no vale esa pregunta? Si pensamos que el –2 es “de peor calidad” que el 2 ¿deberíamos evitar hacernos esa pregunta?

A los imaginarios les ocurre precisamente eso. La pregunta relevante es “¿Qué número, elevado al cuadrado, da –1?”. La respuesta es la unidad imaginaria. Y hemos decidido llamarlo “imaginaria” porque, sibilinamente, alguien pensó que es un número de peor calidad que otros, menos creíble, menos “real”. Pero lo único que estamos haciendo es preguntarnos cosas sobre números. ¿Hay preguntas que son mejores que otras? Esto también lo ha de decidir el lector.

En esta contienda los imaginarios tienen una ventaja táctica: cuando combinamos números reales y números imaginarios obtenemos los números complejos. Son objetos del tipo 5+3i, cuyo cuadrado ya no es un número positivo o un número negativo: es otro número complejo. En concreto el cuadrado de 5+3i es (5+3i)×(5+3i) = 5×5 + 5×3i + 3i×5 + 3i×3i = 25 + 15i + 15i – 9 = 16+30i. La ventaja de la que hablábamos es que cualquier pregunta acerca de números complejos se puede responder con números complejos. Esto no es verdad para los números naturales, con los que uno puede preguntarse “¿Cuánto vale tres menos cinco?”, ni es verdad para los números reales, con los que uno puede preguntarse “¿Qué número, elevado al cuadrado, da –4?”. La respuesta a la primera pregunta es –2, que no es un número natural; la respuesta a la segunda pregunta es 2i, que no es un número real.

En cambio, cualquier pregunta de ese tipo sobre números complejos tiene como respuesta otro número complejo. En ese sentido los complejos son más “completos” que otros números, y de hecho técnicamente se dice que los complejos son algebraicamente completos, porque no hace falta recurrir a otros números para responder preguntas sobre números complejos.

Los números, en definitiva, son un mundo en sí mismo, un mundo del que es difícil escapar en el momento en que uno compra que “el número cinco” es una cosa real y que existe. Algunos números tienen propiedades peculiares. Algunos se relacionan con el mundo físico de forma más directa, y otros más escabrosamente. Pero en el momento en que aceptamos que la naturaleza se puede describir con números, abrazar a unos y excluir a otros requiere cierta gimnasia mental. La decisión final, en cualquier caso, queda en manos del lector.

QUE NO TE LA CUELEN

• En muchos libros de texto la unidad imaginaria se define como “la raíz cuadrada de –1″. Probablemente eso sea suficiente para lo que se pretende en la enseñanza secundaria, pero esa definición tiene un pequeño problema: que las raíces son operaciones especialmente engañosas. La raíz cuadrada de –1 es i, pero también –i. En ambos casos –1 = i×i = (–i)×(–i). Es mejor definir la unidad imaginaria como un número cuyo cuadrado es –1 y cuyo valor absoluto es 1.
• La pregunta de si son “reales” los números o de “si existen” es una pregunta fundamentalmente filosófica. La ciencia por sí misma, y desde luego la ciencia experimental, no puede darle respuesta. Hay científicos que sostienen firmemente que las matemáticas existen, y esa corriente de pensamiento se remonta al menos hasta Pitágoras. Otros prefieren pensar que las matemáticas son herramientas y que el mundo “está hecho de objetos”, no de conceptos. Este debate tiene miles de años, y es bastante probable que nunca lo vayamos a cerrar.

REFERENCIAS

• Paul Nahin. An Imaginary Tale: The Story of √-1. Princeton University Press (2010)
• Eduardo Sáenz de Cabezón. ¿Qué son los números complejos? Derivando (2017)
• Marc-Olivier Renou et al. Quantum physics needs complex numbers. arXiv:2101.10873 (2021)
• Flavio Del Santo y Nicolas Gisin. Physics without determinism: Alternative interpretations of classical physics. Physical Review A, vol. 100, artículo nº 062107 (2019)