¿Puedes DEMOSTRAR que existen infinitos números primos?

Tal vez, lo mejor de las matemáticas es que parten de una serie de datos muy manejables y bastante conocidos por la mayoría y, a partir de ahí, prácticamente todo es deducible. Esto significa que cualquiera de nosotros, en casa y con un conocimiento mínimo de la matemática podemos enfrentarnos a buena parte de los problemas que han abordado los matemáticos de la historia. Tal vez no seamos capaces de resolverlos, sobre todo aquellos que requieren de herramientas matemáticas tremendamente avanzadas, pero es sorprendente lo que el ingenio puede llegar a hacer. Y por eso te proponemos un reto, demostrar más allá de toda duda que existen infinitos números primos. Pero antes, entendamos qué es demostrar para un matemático.

Todas las disciplinas del conocimiento han evolucionado desde su aparición, pero algunas se han reconvertido más que otras. Las matemáticas, por ejemplo, han mantenido su esencia, ampliándose de forma espectacular, pero siendo fieles al espíritu de exactitud y rigor que las definió en un primer momento. No había medias tintas en cuanto a lo que el conocimiento matemático se refería. No se intuía nada, no se suponía, sino que se demostraba más allá de toda duda a partir de axiomas (una breve lista de afirmaciones que necesariamente había que asumir por ser elementales e indemostrables). Estos axiomas son tan básicos como que dos líneas paralelas no se tocarán jamás, que algo es igual a sí mismo o que a todo número le sigue otro, por lo que hay infinitos números. Para demostrar algo a partir de ellos podemos recurrir a varios abordajes diferentes y uno de ellos, el que usaremos en este artículo, es conocido como “reducción al absurdo”.

“Si esto es cierto estamos en problemas”

La reducción al absurdo podríamos explicarla diciendo que consiste en probar algo demostrando que lo contrario llevaría a una contradicción con los axiomas o las deducciones que podemos obtener de ellos. Defender algo se vuelve absurdo, por lo que queda demostrada su alternativa. Dicho de otra forma, si demostramos que es incompatible con la misma naturaleza de una moneda que al tirarla salga cara, entonces, habremos demostrado que saldrá cruz. Existen otras formas de demostrar que una conjetura matemática es cierta o falsa, por ejemplo, puede negarse encontrando un contraejemplo (al menos un caso que niegue la conjetura e impida generalizarla), o bien, puede confirmarse mediante una demostración geométrica. Todas ellas eran formas clásicas de demostrar las conjeturas, pero fue precisamente la reducción al absurdo lo que empleó Euclides para probar la infinidad de los números primos en una de las demostraciones más bellas y elegantes de su tiempo.

Para empezar, deberíamos aclarar qué son los números primos. Se estima que sabemos de su existencia desde hace más de 20.000 años, pero si nos ceñimos a las hipótesis más conservadoras debemos apuntar al segundo milenio antes de cristo, en Mesopotamia, cuyas tablillas dejan una constancia indudable del conocimiento de estos números. Un número primo es aquel número natural mayor que 1 que solo es divisible entre sí mismo y la unidad. Efectivamente, el 1 no es primo, pero sí lo son el 2, el 3, el 5, el 7, el 11, el 13, etc. Pero ¿cuánto podemos alargar esa lista? Los primos parecen encontrarse cada vez más lejos unos de otros (17, 19, 23, 29, 31, 37…) ¿Llegará un momento donde no haya más números primos? En este caso no tiene sentido demostrar la infinitud de los primos encontrando un contraejemplo y una demostración geométrica parece algo farragosa. Nos queda la reducción al absurdo y tratar de demostrar que, si los primos fueran finitos, caeríamos necesariamente en una contradicción. ¿Se te ocurre cómo hacerlo?

La solución

Euclides es, posiblemente, una de las mayores mentes matemáticas de la antigüedad y su compendio del conocimiento existente sobre geometría fue cánon durante cientos de años: Los Elementos. Una de las aportaciones del libro por las que más se le recuerda es, casualmente, haber demostrado que había infinitos primos de forma bastante sencilla y empleando el conocimiento que tendría cualquier niño que actualmente curse primaria. Sus pasos fueron los siguientes.

Asumamos que los números primos son finitos. Eso significa que podemos hacer una lista con todos ellos sin dejarnos ninguno fuera. No obstante, si los multiplicamos a todos entre sí y les sumamos 1 obtenemos un nuevo número con una propiedad inquietante. Resulta que no podemos dividirlo entre ninguno de los números primos de la lista porque ese 1 lo ha complicado todo. Y claro, si el nuevo número no es divisible entre ninguno de los números primos anteriores quiere decir que solo es divisible entre sí mismo y la unidad, haciendo de él, por definición, un nuevo número primo. Eso significa que no importa cuántos primos listemos, siempre habrá un nuevo primo mayor y podremos construirlo con esa simple operación. Por ejemplo: 2, 3 y 5 multiplicados hacen 30 y si le sumamos un 1 obtenemos 31, que efectivamente es primo. Sencillo y muy elegante.

Lo bueno de esta demostración es que es cierta en cualquier condición, no tenemos por qué encomendarnos a la imposible tarea de comprobar todos los números existentes para saber si dejan de aparecer primos en algún momento. Y esto, las demostraciones, han sido sin lugar a duda una de las metodologías más poderosas de las matemáticas sin la cual la física y la ciencia moderna en general simplemente no serían posibles.

QUE NO TE LA CUELEN:

• Posiblemente Euclides no fuera el artífice de esta demostración, del mismo modo que tampoco fue el autor de la mayoría de las ideas que se reúnen bajo su libro Los Elementos. Como sucede con la mayor parte de sabios de la antigüedad, su prolija producción puede deberse más bien a una labor de copistas que de creadores, siendo los eruditos de su tiempo que reunían el conocimiento de otros bajo un mismo techo. Del mismo modo, la demostración de Euclides, a pesar de su elegancia, no es ni la única ni la favorita de muchos expertos.

REFERENCIAS (MLA):

• Euclides. Elementos. Editorial Gredos, 1994.