El 100 es mediocre y los humanos fetichistas

Hacemos rankings de las 100 mejores películas, calculamos porcentajes y en muchos países puntúan los exámenes sobre 100. Nos sentimos atraídos hacia ese número hasta el punto en que, para muchos, se ha vuelto incluso especial. Incluso celebramos con júbilo las centenas, 100 artículos, 100 años, etc. Pero ¿qué sentido tiene? ¿Acaso hay algo que haga al 100 más especial que el resto de los números?

No contestes tan rápido, porque la respuesta no es trivial. No se trata solo de opinión, a fin de cuentas, corazonadas tenemos todos, pero cuando hablamos de algo así queremos pruebas más o menos objetivas. Evidencias que nos llevarán a entender la naturaleza de los números, la psicología de las personas y los trucos que nos juega la vanidad.

1729

El primer paso de esta aventura lo damos muy lejos del 100, algo antes de llegar al segundo millar, con el número 1729. Esta cifra es la protagonista de una historia donde, los actores secundarios fueron dos de los mayores matemáticos del siglo XIX. Godfrey Harold Hardy era un reputado experto en teoría de números. Dicho de otro modo: estudiaba, entre otras cosas, las propiedades de los números; un campo que compartía con su discípulo, el joven prodigio Srinivasa Ramanujan. Cuenta Hardy que, estando Ramanujan enfermo en el hospital, decidió ir a visitarle. Cuando se vieron Hardy trató de romper el hielo apelando a su pasión común e indicó que el número de el taxi que le había llevado hasta allí era especialmente aburrido: 1729. Aquella afirmación hizo saltar a Ramanujan con tanta bravura como su convalecencia se lo permitió y espetó: “No, es un número muy interesante, es el más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes”

¿Enrevesado? Sin duda. El 2 es el número par más pequeño, el primer número primo y por lo tanto el único primo par. Su unicidad es más evidente, más limpia e incluso podríamos decir que más elegante, pero, aunque parezca mentira, el 1729 no tiene nada que envidiarle. 1729 es 1^3+12^3 así como 9^3+10^3 y ningún número más pequeño puede expresarse del mismo modo, como dos sumas diferentes de números positivos elevados al cubo.

De hecho, aunque parezca mentira esto es algo frecuente en las matemáticas. Entre la limpieza del 2 y lo farragoso del 1729 hay muchos números que se consideran interesantes por motivos extraños. El 30, por ejemplo, es el primer número esfénico, que significa que es el más pequeño de los que se pueden obtener multiplicando 3 números primos diferentes (2x3x5) El 6 es igual a la suma de sus divisores (1+2+3) lo que lo convierte en el menor número perfecto.

Y, por supuesto, también los hay más complicados de ver, como el 7, que es el más pequeño de los números felices, porque si tomamos sus dígitos los elevamos al cuadrado y los sumamos, repitiendo este proceso una y otra vez, terminaremos llegando al 1 (49 -> 97 -> 130 -> 10 -> 1) Siguiendo estos criterios, números que aparentemente parecen menos interesantes que el redondo y perfecto 100 se vuelven mucho más atractivos, como si fueran la respuesta a un rompecabezas. Pero hay más, porque ¿acaso todos los números son interesantes? Si fuera así el concepto “interesante” perdería bastante fuerza al referirnos a los dígitos.

La paradoja de los números interesantes

Imaginemos que realmente existen números que no son nada interesantes, que son incluso aburridos. Eso significa que podremos separarlos en dos grupos, o conjuntos. El conjunto de los números interesantes, donde se encontrarán el 2, el 30 y el 1729, y por otro lado el conjunto de los números que no parecen tener propiedades reseñables, los aburridos. Hasta aquí no hay ningún problema, pero pensemos en el conjunto de números aburridos, por mucho que les falten propiedades curiosas hay algo que sí tienen, y es que como son números podemos ordenarlos del más pequeño al más grande, podemos presuponer que entre ellos habrá uno que sea menor que todos los demás. Y aquí está el problema, porque de repente, el primero de ellos se habrá convertido en el número más pequeño sin propiedades interesantes, y paradójicamente, eso suena bastante interesante.

¿Significa eso que hemos de cambiarlo de conjunto? Si consideramos interesante que sea el primer número aburrido, tal vez debamos moverlo al grupo de los interesantes, pero de ese modo, perderá la propiedad que lo vuelve merecedor de pertenecer a ese conjunto. Es más, incluso si no tenemos esto en cuenta, al desaparecer del conjunto de números aburridos, el que antes era el segundo más pequeño se ha vuelto el primero, pasando a ser el nuevo menor de los números sin propiedades interesantes, así que ¿lo trasladamos también al otro conjunto? Bienvenido a la paradoja de los números interesantes.

No creas que se trata de un verdadero problema matemático, ni siquiera una cuestión filosófica de peso. Es más un chiste, una aporía solo en apariencia. No es una forma de justificar que todos los números sean interesantes ni que ninguno lo sea; se trata de un problema de definiciones. Cuando decimos interesante sin concretar más estamos dando una definición tan laxa que todo cabe. No hace falta recurrir a que un número aburrido sea el primero de su conjunto para que cuente con algún interés. Si queremos dejar a un lado el espíritu deportivo (y las reglas lo permiten) habrá números cuyo interés radique en coincidir con una fecha relevante de nuestra historia, ya sea en nuestro calendario o en otro. Quizá coinciden con el número de algún elemento químico, o con la longitud del material genético de un ser vivo medido en pares de bases. Si estamos dispuestos a retorcer lo suficiente las casualidades encontraremos tantas como queramos. Pero entonces, sí que tenemos un problema, aunque no el que suele plantearse cuando se habla de esta falsa paradoja. Y es que, si estábamos cayendo en la ambigüedad ¿cómo podemos justificar que un número sea más interesante que otro?

El problema está en la base

Es posible que lleves unos cuantos párrafos pensando que estamos mareando la perdiz innecesariamente, que existe un motivo sencillo por el que el 100, el 1000, el 1.000.000 y todos los múltiplos de 10 tienen algo de especial, y es que se trata de la base de nuestro sistema de numeración. Cada vez que acumulamos 10 unidades llevamos la cuenta sumando un uno a las decenas, cuando estas llegamos a 100 unidades sumamos un 1 a las centenas y así sucesivamente. Dicho de otro modo, el 1 de 12 no vale 1, vale realmente 10 unidades que se suman al 2. El valor de las cifras que colocamos en las decenas, centenas, millares se debe a que tenemos un sistema de numeración posicional, donde el orden importa, y cuya base es el dichoso 10.

Desde luego que esto es un buen motivo para considerar especiales los múltiplos de 100. Aunque, si lo piensas, podríamos seguirnos preguntando cosas ¿por qué es en base 10? ¿Por qué no escogimos otro número? Habría sido igual de natural tomar cualquier otra base, pero claro ¿recuerdas cómo aprendiste a sumar? Posiblemente llevaras la cuenta con los dedos de tus manos, que casualmente son 10. Visto así, lo que tiene de especial el 100 es que coincide con el número de dedos que tendríamos si en el extremo de cada una de nuestras falanges naciera una mano completa, cada una con sus cinco deditos. De repente justificar la belleza de un número porque coincide con una base arbitrariamente impuesta parece un poco más absurdo.

Y si te lo estás preguntando, sí, hay otras bases igual de interesantes a las que, de hecho, estamos bastante acostumbrados. Por ejemplo, los ordenadores trabajan en base dos, lo que posiblemente conozcas como “binario”. Un sistema de numeración posicional donde la clave es el dos. 0, 1, 10, 11, 100, 101… Si te has perdido prueba a multiplicar las “decenas” por la base (2), las centenas por la base al cuadrado (4) y así sucesivamente hasta sumar todos los dígitos. Así es como 10 se vuelve 2+0, que es dos, 11 es tres, 100 es 4+0+0 que es cuatro y 101 es cinco. Esta base tiene sus ventajas cuando trabajamos con máquinas cuyas unidades de procesamiento pueden permitir el paso de corriente (1), o no (0) y vivimos en una sociedad tecnológica, así que ¿no es acaso igual de buena que la base 10? Si así fuera, nuestro querido 100 sería al cambio como nuestro 4, un número que no parece especialmente importante ¿no?

Los mayas, por ejemplo, utilizaban un sistema algo extraño. Cada unidad era un punto, e iban añadiéndolos hasta que sumaban 5, que se simbolizaba con una raya. Tres rayas horizontales una sobre otra coronadas por 1 punto eran como 3x5+1, esto es: 16. Pero hay más, cuando llegaban al 20 todo se reiniciaba. Colocaban un punto arriba del todo y bajo él ponían una especie de ojo avellanado simbolizando el cero posicional. Era algo así como su 10, pero en un sistema donde esa “decena” valía 20. Bajo ella repetían la sucesión de puntos y barras hasta llegar a 40 y vuelta a empezar, ahora con dos puntos en la cima.

Y si piensas que la base 10 sigue siendo mejor porque tiene un fundamento anatómico y por lo tanto cierto regusto humano ¿por qué crees que la base maya se fundamentaba en el 20? Aunque no se sabe, se sospecha que los dedos de las manos y los dedos de los pies fueron el origen, de hecho, no es el único caso. El sistema de numeración que usaban en Babilonia tenía una base de 60. Intenta adivinar por qué, pero si no lo descubres tampoco te fustigues. Extienden ante ti tu mano derecha. Ahora empieza a contar con tu pulgar cada una de las falanges de los otros cuatro dedos de tu mano. Son tres por cada dedo, esto es 12 en una mano. Pero no hagas lo mismo con la izquierda, porque con ella llevarás la cuenta de cuántas veces repasas tus falanges de la mano derecha. Tras esas primeras 12, doblas un dedo de tu mano izquierda y repites la jugada hasta que los cinco dedos estén cerrados en un puño. Cinco veces doce son 60. Tampoco se sabe con absoluta certeza si este es el origen de la base 60 que usaban en Babilonia, pero es probable hasta donde sabemos.

¿Ya estás convencido de la mediocridad del número 100? Entiendo que puedas pensar que el sistema sexagesimal de los babilonios está desfasado y eso lo vuelve menos especial respecto al omnipresente decimal, pero ¿podrías decirme qué hora es?

Un babilonio en tu muñeca

Si eres una persona de bien, me habrás dado la hora indicando los minutos exactos, puede que hasta con los segundos precisos y ¿sabes qué? Esos minutos y segundos tienen base 60, en cierto modo me gusta pensar que hay un babilonio en tu muñeca, dándote la hora cada vez que se la pides.

De hecho, los ángulos también se miden en base 360 (un giro completo) porque es un múltiplo de 60 y la geometría mesopotámica fue potente. 360 también tenía una ventaja, podían hacerse fracciones realmente pequeñas de ese número sin tener que recurrir a incómodos decimales. La mitad son 180, una tercera parte 120, un cuarto 90, una quinta parte 72, una sexta 60, una octava 45. Eso también suena bastante especial, por mucho que no celebremos el 360 con el mismo fervor que el 100.

Pero atento, porque hay un último tirabuzón en toda esta apología contra el número 100. Podemos crear aritméticas donde ni siquiera existe. No hablo de sustituir los símbolos por cosas locas, y una vez más es algo a lo que estás extrañamente acostumbrado. Dime, ¿cuánto es 21+4? Son 25, pero ¿y si te estoy hablando de horas? Vaya, de repente, si sumamos 4 horas a las 21:00 resulta que no se hacen las 25:00, tal cosa no existe. De las 24:00 pasamos a la 1:00 y en este caso 21+4 es igual a 1. En una aritmética con módulo 60, el 100 no es una opción. Por supuesto, todo esto es más complejo de lo que parece, pero esta simplificación proporciona una idea aproximada de cómo funciona.

El viaje ha sido largo y hemos visto unos cuantos motivos que hacen del 100 un número más. Sin embargo, tras haber leído todo esto, sé que seguirás celebrando las decenas, las centenas y el resto de sobrevalorados múltiplos de 10. Hay algo en ti sobre lo que la racionalidad no tiene demasiado poder y que te hace imperfectamente humano. No importa lo caprichosa que sea la base 10 o las historias que nos cuente la aritmética modular. Es consustancial a nosotros sentir afinidad por lo inerte y que un garabato en un papel nos parezca más bonito que otro, o incluso que aquel al que llamamos siete nos empuje a tocar madera. Es irracional, un poco ridículo y fetichista, sin duda, pero está arraigado en nuestros sesgos más profundos y nos da la excusa perfecta para celebrar lo trivial, que buena falta hace. De hecho, tengo que confesarte que yo mismo seguiré celebrando las centenas con cosas como esta, mi artículo número 100.

QUE NO TE LA CUELEN:

• No se sabe con certeza el origen de la base 20 maya ni 60 babilonia, pero tampoco se trata de una especulación absoluta.
• La paradoja de los números interesantes no es en realidad tal paradoja, es un problema de definiciones ambiguas que no presenta dificultad alguna para la matemática o la filosofía.

BIBLIOGRAFÍA:

• Herrmann, Diane, and Paul J Sally. Number, Shape, And Symmetry. CRC Press, 2013.
• Carl B. Boyer & Uta C. Merzbach “History Mathematics.” Jossey-Bass; Edición: 3rd (2010).