Una conjetura en el limbo de las matemáticas

Hace seis meses el matemático japonés Shinichi Mochizuki, profesor de la Universidad de Kioto, proclamó haber resuelto un importante resultado de la Teoría de Números, la Conjetura abc, en una serie de artículos que sumaban más de 500 páginas. Pese a la relevancia de este resultado y el revuelo inicial, la comunidad matemática todavía no se ha pronunciado: aunque podría ser consistente, nadie, hasta el momento, es capaz de entender el trabajo en profundidad.

Se dice que una o dos personas en Japón podrían estar introduciéndose en la teoría de Mochizuki, pero por ahora son solo rumores. "No podemos saber si realmente alguien está trabajando en ello seriamente, normalmente los procesos de revisión por pares son confidenciales", advierte José Ignacio Burgos, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). "Desde luego, no he visto que se organice ninguna reunión científica sobre el tema todavía", observa.

La muralla que hace por ahora infranqueable la demostración de la conjetura es lo que el japonés denomina "Inter-universal Teichmuller Theory", un nuevo mundo de objetos matemáticos y técnicas novedosas, que ha desarrollado durante las últimas décadas. "El trabajo de Mochizuki utiliza ideas que están completamente fuera de la corriente principal de este tema. Al leerlo te sientes como si estuvieras viendo un artículo del futuro, o del espacio exterior", describía Jordan S. Ellenberg, profesor de matemáticas en la Universidad de Wisconsin y autor del blogQuomodocumque.

"En esencia, ha creado un nuevo mundo de objetos que, según afirma, entiende lo suficientemente bien para trabajar con ellos de manera consistente y mostrar que sus propiedades implican la veracidad de la conjetura abc", resumía Peter Woit investigador de la Universidad de Columbia (EE UU) en su blog. Por tanto, "puede tardarse mucho tiempo en ver si realmente la prueba está bien", concluía.

Una conjetura deseada

Pese a lo misterioso del tema, a Mochizuki se le ha tomado en serio gracias a su buena reputación en la comunidad por sus trabajos anteriores, que tienen una excelente consideración. "Si algún desconocido escribiera un artículo similar, pocos o ningún experto dedicarían ni un minuto de su tiempo para intentar entender el mensaje, sino que pensarían que es pura fantasía", señalaba Woit.

La conjetura abc se trata de un enunciado simple que involucra ingredientes elementales: números enteros, suma, multiplicación. Habla de propiedades de tripletas de números (a, b, c), que cumplen a+b=c, el mismo tipo que aparece en el famoso teorema de Fermat y muchos resultados de la Teoría de Números. Lleva abierta más de 30 años, y es un resultado central del que se derivan otros grandes teoremas. La generalidad del enunciado permite que, si se prueba que es cierta, pueda aplicarse a muchos otros casos más concretos. "Su validez facilitaría la demostración de muchas otras conjeturas importantes. El ejemplo más famoso es el Último Teorema de Fermat", declara Juanjo Rué, investigador del ICMAT.

Sin embargo, pese al entusiasmo inicial, pasan los meses y hasta la fecha muy pocos matemáticos han hecho el esfuerzo de intentar entender esta teoría extravagante pues, ¿quién está dispuesto a invertir el tiempo y esfuerzo que supone entender una prueba tan compleja? "Si yo quisiera entender su trabajo debería pasar años estudiando sus artículos, que suman más de 2000 páginas", reconoce Burgos.

Mochizuki tampoco está dispuesto a facilitar demasiado este trabajo. Varios matemáticos le han solicitado que explicara el núcleo de esta teoría, pero no ha querido. "Imagina que pidiéramos a un poeta que nos explicara que significa un poema, probablemente diría que no. Lo que quería decir con el poema es lo que escribió. Creo que la situación de Mochizuki es similar: dijo lo que quería decir con su artículo", explica Minhyong Kim ,profesor de la Universidad de Oxford (Inglaterra) y de la Universidad de Ciencia y Tecnología de Pohang (Corea del Sur) en un artículo de ScienceNews. Pese a ello, recientemente redactó una "visión global"de sus teorías que, desgraciadamente, los matemáticos siguen encontrando igual de impenetrable que la prueba completa.

Pero incluso con esta barrera ya se han señalado algunos errores en la prueba de Michozuki. En Septiembre de 2012 Vesselin Dimitrov, investigador de la Universidad de Yale, y Akshay Venkatesh, de la Universidad de Stanford, se dieron cuenta de que una de las afirmaciones que el matemático japonés hacía en su cuarto artículo entraba en contradicción con otro resultado anterior. Sin embargo, Michozuki se ha defendido diciendo que "ese error es fácilmente reparable y no tiene ningún efecto en la prueba de la Conjetura abc". De hecho, a finales de marzo de este año publicó una nueva versión de este texto, en el que, supuestamente, corregía el error y agradecía "a Vesselin Dimitrov y Akshay Venkatesh por sus útiles comentarios relacionados con los aspectos de Teoría de Números Analítica de este paper".

Tampoco es sencillo corroborar su defensa, ya que la situación sigue siendo la misma: no se entiende su trabajo. Supuestamente la demostración sigue funcionando, o al menos en la cabeza de Mochizuki, pero esto no es suficiente. "Necesitamos que toda esta maquinaria exista fuera de la cabeza de Mochizuki. Necesitamos que alguien que acabe de entenderlo nos ayude a entenderlo a nosotros", afirma Jordan Ellenberg de la Universidad de Wisconsin en ScienceNews.

Posibles desenlaces

En la situación actual se presentan varias posibilidades para el final de esta historia. La primera sería que, a través del proceso de revisión por pares y tras un arduo trabajo de comprensión de la herramienta de Mochizuki, se pruebe que la demostración era correcta y que ambos, el resultado y la prueba, son ciertos, lo que supondría un gran avance para la Teoría de Números.

También podría encontrarse un error salvable en la prueba, una vez comprendida en profundidad y, con más o menos trabajo, se pudiera soliviantar el fallo. Hace ya casi dos décadas también pasó esto mismo con la afamada demostración del Último Teorema de Fermat propuesta por el matemático Andrew Wiles.

Pero podría ser que alguien, que también manejara la Teoría Teichmuller Inter-universal encontrase un error insalvable. "Esta opción no puede descartarse, y no sería la primera vez que sucede con esta conjetura, ya ocurrió hace cinco años con la propuesta hecha por Lucien Szpiro", asegura Rué. Aunque este sea el escenario menos agradable, la verdad es que muchas veces los intentos de demostraciones de conjeturas clásicas resultan no ser correctas. "Sobre todo en temas de teoría de números, donde cualquier persona con unos mínimos conocimientos matemáticos puede entender el enunciado del problema e intentar abordarlo, se presentan muchas demostraciones incorrectas", afirma Rué.

O aun peor, quizás la comunidad no pueda absorber la demostración y podría quedarse en el limbo. "Si ningún matemático relevante de la comunidad -aparte del autor- afirma que la prueba es consistente, no podría admitirse como cierta y seguir trabajando sobre ella". La veracidad o falsedad en las matemáticas no depende, como en las otras ciencias, de lo que se crea en este momento: si es cierta, lo es para siempre, por lo que obtener un resultado válido en matemáticas no es solo hacer un razonamiento correcto, sino convencer a la comunidad de que lo es. Y afirmar esto no es una cuestión de fe.

Historia de una conjetura fallida

La Conjetura abc, también conocida como Conjetura de Osterlé-Masser, fue propuesta a finales de los años ochenta de manera independiente por estos dos matemáticos. "El resultado parece cierto, pero hasta que no se dé una demostración formal no se puede considerar como tal", afirma Juanjo Rué, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

El intento de demostración Mochizuki no es el primero: hace cinco años Lucien Szpiro, profesor en la Universidad de la Ciudad de Nueva York y reputado investigador, afirmó tener una demostración de la conjetura, pero poco tiempo después se encontró un error en la prueba que no se pudo solventar.

"En el caso de la demostración de Szpiro, las técnicas que se empleaban eran conocidas por la comunidad, de modo que los expertos en el área identificaron rápidamente qué partes de la demostración eran susceptibles de fallar", afirmaba Peter Woit, investigador de la Universidad de Columbia. En este caso, encontrar un error es mucho más complicado. Pero también validar la demostración.

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* Ana Zumalacárregui es miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas y estudiante de doctorado de la Universidad Autónoma de Madrid

Ágata Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del Instituto de Ciencias Matemáticas