Las cuatro formas de dividir

Sumar, restar, multiplicar y dividir. Desde pequeños hemos aprendido que estas son las operaciones fundamentales sobre las que se construyen todas las matemáticas de los números. Aprendemos también que la división tiene alguna cosa un poco especial, como que no se puede dividir entre cero, pero eso son pequeños detalles, ¿no? La idea de “sumar” o de “multiplicar” es tan básica que, sin duda, las encontraremos en casi cualquier sitio.

Cuando aprendemos un poco más nos damos cuenta de que las matemáticas no solo van de números. En el zoo hay otros animales, como los vectores, o las matrices, que son un poco más peculiares. Todos se pueden sumar o restar, pero multiplicar matrices es bastante diferente a lo que hacemos con números, y los vectores ni siquiera pueden multiplicarse, o al menos no para dar otro vector. La división es aún más problemática, porque en el mundo de las matrices ni siquiera se habla de “dividir”, sino de “calcular el inverso”. Si no sabéis de lo que estoy hablando, no os preocupéis. A lo que quiero llegar es: ¿qué está pasando? ¿No eran la multiplicación y la división nociones muy sencillas que deberíamos encontrar en todas partes?

Diseccionando la multiplicación

Lo son, pero hay que ir con cuidado. En realidad, la noción intuitiva de multiplicación es “hacer más grande algo”, y la de división, “hacerlo más pequeño”. Eso se consigue en el mundo de los vectores y las matrices simplemente multiplicando por un numerito. En cambio, la multiplicación entre matrices es “voy a combinar dos matrices para conseguir una tercera”, y eso es lo que, en general, no solemos hacer con los vectores. La trampa está en que en el mundo de los números “hacer más grande un número” es “combinar dos números para conseguir un tercero (mayor)”, así que nuestra intuición numérica nos ha mezclado estas dos nociones.

Pero, ya que hemos encontrado esta distinción, examinémosla un poco de cerca. Esto de “combinar dos cosas para formar una tercera del mismo tipo” ¿es realmente una multiplicación o es otra cosa? La suma, por ejemplo, sigue ese mismo patrón. En realidad, a todas las operaciones que siguen ese patrón las llamamos operaciones internas. Para que las podamos llamar propiamente multiplicaciones necesitamos un elemento más: la propiedad distributiva. Es decir, que cuando la multiplicación se combina con la suma, lo hace de la misma forma que los números: a⨯(b + c) = a⨯b + a⨯c. Dicho de otra manera: la multiplicación es una operación interna además de la suma. Rara vez llamaremos a algo “multiplicación” si no podemos también sumar.

En matemáticas hay un nombre para los conjuntos en los que tenemos, a la vez, una suma y una multiplicación: se llaman álgebras (sí, es el mismo nombre que “el Álgebra”, una de las ramas de las matemáticas, pero ésta es otra acepción). Hay muchísimas álgebras diferentes: el álgebra de las matrices, por ejemplo, o el álgebra de los números de toda la vida. Todos ellos son conjuntos cuyos elementos se pueden sumar y también multiplicar. Pero cuando la cosa se pone interesante es cuando queremos también dividir: es decir, si queremos revertir la multiplicación. Eso ya no se puede hacer de tantas maneras. De hecho, sorprendentemente, solo puede hacerse de cuatro formas: son las cuatro álgebras de división.

Las cuatro formas de dividir

Este resultado fue demostrado hace cien años por el matemático alemán Adolf Hurwitz, que no lo publicó en vida, y después, de forma independiente, por el austriaco Johann Radon. Esencialmente, lo que dice es que podemos imaginar objetos muy complicados, verdaderamente raros, tan marcianos como queramos, pero si queremos poder sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos solo hay cuatro maneras de hacerlo. Dependiendo de las propiedades de esos objetos, y de las propiedades de su multiplicación, tendremos que usar una u otra.

El primer “estilo de división” es el que más nos suena: el de los números reales. Tiene todas las propiedades a las que estamos acostumbrados, y una en concreto que lo hace especial: los objetos que estamos multiplicando y dividiendo se pueden ordenar. Si tomamos dos números, uno siempre será más grande y el otro más pequeño. Siempre que tengamos un conjunto que se pueda ordenar éste será el único estilo de multiplicación y división que podremos definir, aunque lo contrario no es cierto: no todos los conjuntos ordenables pueden tener una división bien definida.

La segunda álgebra de división os sonará si habéis hecho carreras de ciencias: es la de los números complejos. Se trata, en pocas palabras, de dos copias de los números reales, pero a una de ellas le damos una propiedad un poco peculiar: al multiplicarse por sí mismos dan un número negativo. Todo número complejo se construye con una parte real, cuyo cuadrado es positivo, y otra imaginaria, cuyo cuadrado es negativo. Estas partes se pueden sumar o restar, pero siempre van a ser diferentes, porque tienen propiedades antagónicas: cuadrado positivo o cuadrado negativo. Es por eso que los complejos necesitan dos copias completas de los reales, y por lo tanto su dimensión es 2.

Es notable que los complejos se construyan cambiando una de las propiedades de la multiplicación: añadiendo unos números inventados cuyo cuadrado es negativo. Esto ya nos señala que nos hallamos ante una nueva manera de multiplicar.

Cuaterniones y otros animales fantásticos

Con la tercera álgebra de división empiezan a llegar las curvas. Esta vez necesitamos cuatro copias de los reales para construirla. De ellas, una va a tener cuadrados positivos, y las otras tres, negativos: es como coger los números complejos y añadirles dos copias más de los números imaginarios. Además, vamos a volver a modificar la multiplicación: los tres tipos de números imaginarios no van a respetar la propiedad conmutativa. Ya sabéis, el viejo dicho de “el orden de los factores no altera el producto”. Pues para esas tres copias va a ser un poco diferente: tendremos que a⨯b = -b⨯a. Hecho esto ya podemos sumar, restar, multiplicar y dividir. Bienvenidos al álgebra de los cuaterniones.

Los cuaterniones pueden parecer bastante marcianos: tienen dimensión 4, tres unidades imaginarias y su multiplicación es no conmutativa. Sin embargo, cuando los miramos de cerca, resulta que las rotaciones en el espacio tridimensional se pueden entender con cuaterniones. Aplicar varias rotaciones seguidas es equivalente a multiplicar cuaterniones de la forma adecuada, y por eso se usan de manera regular en los programas de diseño 3D. Ironías de ser un álgebra de división.

Los últimos invitados del día de hoy son seres genuinamente exóticos: los octoniones, la más grande de las álgebras de división. Están formados por los reales y siete copias de los números imaginarios. No os volveré locos con las propiedades de su multiplicación, pero baste decir lo siguiente: si los cuaterniones habían perdido la propiedad conmutativa, los octoniones pierden la asociativa, es decir: expresiones como a⨯b⨯c no tienen sentido. Para que esa expresión signifique algo tenemos que decir en qué orden vamos a multiplicar los tres octoniones: (a⨯b)⨯c es una expresión perfectamente aceptable, y a⨯(b⨯c) también, pero en los octoniones pueden tener valores diferentes.

En un mundo acostumbrado a la asociatividad, en el que casi no sabemos pensar sin propiedad asociativa, los octoniones son una rara avis. Ha habido varios intentos para relacionarlos con ciertas propiedades de la física fundamental, pero todos ellos son muy especulativos. Sí tienen conexiones muy estimulantes con ramas profundas de las matemáticas, como los grupos de Lie excepcionales o los grupos finitos esporádicos, de los que quizá hablaremos otro día. Pero quién se sorprende: los octoniones tienen, al fin y al cabo, una multiplicación muy especial: una de las cuatro en las que es posible dividir. La única cosa que no podían ser es aburridos.

QUE NO TE LA CUELEN

• Habitualmente, en matemáticas se omite el signo de la multiplicación, que aquí hemos representado por “⨯”. En la literatura científica nunca encontraréis un aspa cuando haya que multiplicar.
• Las álgebras de división son cuatro, pero cada una de ellas puede tomar múltiples formas: a veces podéis estar mirando el mismo “tipo de multiplicación” y no daros cuenta porque su aspecto es muy diferente.
• Existen álgebras donde la división es posible, pero solo de forma parcial: algunos elementos pueden usarse como divisores y otros no. Esos espacios, que son muchos más de cuatro, no son álgebras de división, pero su multiplicación puede tener propiedades comunes con algunas de estas cuatro.

REFERENCIAS

• Dixon, Geoffrey M. Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers and the Algebraic Design of Physics. Springer-Verlag, 1994.
• Sanderson, Grant (3blue1brown). ¿Qué son los cuaterniones y cómo los visualizas? Una historia de cuatro dimensiones. Vídeo de Youtube. 6 sep. 2008.
• Baez, John C. The octonions. Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 39, pp. 145-205 (2002)
• Furey, Cohl. Charge quantization from a number operator. Physics Letters B, vol. 742, pp. 195-199 (2015)