Cuando la política casi destruye a π

Clarence Abiathar Waldo no podía creer lo que estaba viendo. No era raro que aquella sala llena de políticos estuviera aplaudiendo sinsentidos como si no hubiera un mañana, lo realmente extraño era que se trataba de sinsentidos matemáticos. Waldo había llegado a allí por casualidad, pero lo que se estaba tratando no le era ajeno, a fin de cuentas, él era profesor de matemáticas y presidente de la Academia de Ciencias de Indiana.

Según parecía, la “Casa de Representantes de Indiana” acababa de aprobar por unanimidad una demostración matemática. El simple hecho de someter a la opinión popular algo tan objetivo como las matemáticas ya resultaba sospechoso, pero lo que la supuesta demostración afirmaba era todavía más alarmante. De las complejas frases que llenaban el proyecto de ley, se derivaba que toda la historia de las matemáticas estaba equivocada, y con ella, que la física y la ingeniería estaban construidas sobre cimientos podridos. El responsable de este revuelo era un médico, el Doctor Edwin J. Goodwin. Una persona que pasaría a la historia como el hombre que quiso decretar que π valiera exactamente 3,2.

Cuenta la historia que Waldo se negó a encontrarse con Goodwin pues “ya había conocido a demasiados locos”. De hecho, tan pronto como se enteró de la abominación que trataban de aprobar decidió alertar a los senadores de Indiana para que, cuando el proyecto de ley llegara a ellos, supieran bien el tipo de barbaridades que contenía. ¿Pero qué es lo que planteaba Goodwin que fuera tan herético? Para entenderlo tenemos que conocer lo que se esconde tras el rimbombante concepto de “la cuadratura del círculo”.

Las formas de la matemática

En la Antigua Grecia “matemática” era prácticamente un sinónimo de “geometría”. Por aquel entonces el álgebra todavía no estaba madura y las sumas, las restas e incluso las raíces cuadradas se calculaban con regla y compás. La geometría era una herramienta poderosísima que permitía resolver infinidad de problemas. Sin embargo, había uno que se les resistía: ¿Cómo dibujar un cuadrado cuya área fuera idéntica a la de un círculo ya dado?

Puede parecer sencillo, pero tiene truco. Podemos empezar con confianza, imaginando un círculo de radio igual a 1. Por suerte tenemos una fórmula que nos permite calcular el área de un círculo a partir de su radio: π multiplicado por su radio al cuadrado. Dado que el cuadrado de 1 (su radio) sigue siendo 1, nuestro círculo tendrá un área igual a π. Esto es fantástico, porque sabemos que el área de un cuadrado se calcula multiplicando uno de sus lados por sí mismo, y que, por lo tanto, cada lado de nuestro cuadrado tendrá que valer exactamente la raíz de π (para que multiplicados valgan lo mismo que el área del círculo). Pero como he dicho, hay un truco ¿cómo harías todo esto usando solo dibujos geométricos? ¿Cómo conseguirías dibujar una línea de medida π sobre la que puedas calcular su raíz cuadrada?

La infinidad de decimales en π no es el verdadero problema. Lo que impidió a los geómetras resolver la cuadratura del círculo fue el no saber cómo obtener una recta de longitud π. ¿Qué medidas tenían que sumar o restar para conseguir a π? Durante siglos aficionados y profesionales de las matemáticas trataron de resolver el problema, atraídos por la simplicidad del planteamiento y el legendario aire que había tomado. No obstante, nadie consiguió resolverlo, en todo caso se aproximaron a él.

Recordemos que π es la relación entre el perímetro de un círculo y su diámetro. Es un valor constante que surge de dividir lo que mide el contorno de cualquier círculo entre el doble de su radio. Si pudiéramos estira una circunferencia veríamos que en su perímetro cabe en su diámetro tres veces y un poquito más. Un poquito que a los matemáticos les costó horrores calcular.

La primera aproximación data de hace 3800 años en el Antiguo Egipto y es obra de un escriba llamado Ahmes. El resultado fue 3,16049 estando bastante cerca del actualmente conocido 3,1415926535… Otros genios del pasado, como Arquímedes o Zu Chongzhi trataron de aproximarse todavía más, inscribiendo polígonos de cada vez más lados dentro de el círculo. Primero un cuadrado cuyas esquinas tocaban la circunferencia, luego un pentágono, después un hexágono y así hasta conseguir tantas esquinas que la circunferencia y el polígono que esta encerraba estuvieran casi solapados. Simultáneamente, repitieron lo mismo con los polígonos circunscritos (rodeando a la circunferencia) y consiguieron un resultado más que aceptable. Arquímedes utilizó polígonos de 99 lados, obteniendo un valor para π igual a 3,1429, mientras que Zu añadió todavía más ángulos aproximándose más al valor real, con 3.1415926. El “método exhaustivo” era un éxito.

Sin embargo, los matemáticos habían comenzado a sospechar que π podía ser un número irracional, esto es: con infinitos decimales que no se repiten periódicamente. Sin embargo, no fue algo fácil de demostrar matemáticamente, de hecho, no se consiguió hasta 1761, gracias a Johann Heinrich Lambert y casi 20 siglos después de la aproximación de Arquímedes. De hecho, hasta ahora hemos calculado los primeros 31 trillones de dígitos que componen π. Todo ello gracias a los ordenadores y a los 170 Terabytes de memoria que han necesitado para hacerlo.

El buen doctor

Las cosas no avanzaron mucho desde entonces, hasta que un buen día de 1888 un médico sin formación matemática llamado Edwin J. Goodwin dijo haber resuelto el acertijo imposible, había cuadrado el círculo. El buen doctor era un hombre alto y bigotudo que por aquel entonces ya pasaba de los sesenta años y del que podríamos decir que no se encontraba en su mejor época. No hacía mucho, su mujer había muerto y su clínica se había quemado hasta los cimientos. Por si esto fuera poco, decidió mudarse para cambiar de aires y según él mismo relata, su nueva comunidad se dedicó a extender rumores sobre las presuntas negligencias que le habían hecho huir de su tierra. En este contexto nació su supuesta demostración matemática, casi como una revelación. Goodwin dijo que nunca les dedicó demasiado tiempo a las matemáticas y menos a este famoso problema, simplemente se cruzó en su camino y la respuesta llegó a su mente.

El médico estaba tan emocionado que quiso compartir su conocimiento con el mundo, eso sí, por un módico precio, por lo que decidió patentar el método que había usado para demostrarlo. No obstante, había una excepción, Goodwin quería que su tierra prosperara, así que decidió hacer un trato con las autoridades del condado. A cambio de ofrecerla gratuitamente a todos los habitantes de Indiana, el estado debería de aceptarla en la legislatura de 1897. Ese es el verdadero motivo por el que la propuesta fue aprobada por unanimidad antes de llegar al senado: porque un hombre con una jerga indescifrable pero aparentemente científica quería hacer un regalo a su estado.

Habría sido un gesto encomiable, sobre todo si la demostración no hubiera sido un sinsentido. En ella redondeaba de forma extraña las medidas de sus figuras, desafiando a los principios más fundamentales de la geometría. De sus cálculos se derivaba que la clásica fórmula de Pitágoras relacionando los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo era incorrecta. Y, lo que, es más, en su razonamiento estaba implícito que π valía 3,2 lo cual era sencillamente imposible, como Lambert había demostrado. O π y Pitágoras estaban equivocados o Goodwin había cometido algún error en su demostración.

Por suerte, Waldo estaba allí para detectar todas estas incoherencias y alertar a las autoridades. Sin embargo, su intervención desató las mofas de los senadores y lo que es peor, de la prensa. Matemáticos de todo tipo dispararon al blanco fácil que era Goodwin quien, acorralado, recrudeció su defensa, negando incluso que el diámetro de un círculo tuviera algo que ver con π. Goodwin nunca aceptó su error y en sus últimos años nos dejó frases como la siguiente:

Lo que posiblemente Goodwin no sabía era que no solo estaba equivocado su razonamiento, sino que unos pocos años antes, en 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann había demostrado que la cuadratura del círculo era en sí misma imposible. Más concretamente, lo que Lidemann demostró fue que π era un número trascendente, imposible de obtener a través de ninguna ecuación algebraica. Por lo tanto, si π es trascendente quiere decir que no existe ninguna manera de obtenerlo a través de la geometría clásica, los mismos métodos con los que se plantea el reto de cuadrar el círculo.

Goodwin y su extraño valor de π protagonizaron la que es sin dudas una de las historias más rocambolescas de las matemáticas. Hoy en día nos parece absurdo que un grupo de políticos trataran de aprobar un teorema democráticamente, y sin embargo, siguen ocurriendo situaciones parecidas a nuestro alrededor. En la ciencia y las matemáticas algo es cierto o falso más allá de lo que nosotros queramos. Las cosas no cambian porque lo deseemos con todas nuestras fuerzas, simplemente son. Aceptar la evidencia científica es la única forma sana de aproximarse al conocimiento, aun cuando nos contraríe. La ciencia proporciona conocimiento, pero nunca debería de hacerlo a la carta, aunque persigamos algo tan bello y utópico como la cuadratura del círculo.

QUE NO TE LA CUELEN:

• A pesar de lo que se dice frecuentemente, en el proyecto de ley no se hablaba expresamente del valor de π, sino de la cuadratura del círculo. El valor de π era una de las incoherencias que se derivaban de dicha prueba.
• Algunas fuentes cuentan que en el estado de Alabama se promulgó una ley por la que π pasaba a valer 3. Supuestamente, se alegaba que así sería más fácil operar con él y que minaría menos la autoestima de sus estudiantes. En realidad se trata tan solo de un bulo creado por el humorista Mark Boslough.
• El nombre de π viene del 1706, no de los antiguos griegos. Fue acuñado por William Jones por ser la inicial de la palabra griega para referirse a la periferia: περιφέρεια.

REFERENCIAS:

• Arthur E. Hallerburg “House Bill No.246 Revisited” Valparaiso University (1974).
• Carl B. Boyer & Uta C. Merzbach “History Mathematics.” Jossey-Bass; Edición: 3rd (2010).
• Randy Schwartz. “Pi is Transcendental: Von Lindemann’s Proof Made Accessible to Today’s Undergraduates.” (2015).