Existen infinitos más grandes que otros: Las desconcertantes propiedades del infinito

El infinito es la noción de que algo es demasiado grande para medirse con números, que está más allá de lo que se puede contar. Es una noción relativamente intuitiva, que aparece inmediatamente si nos ponemos a contar. Si recitamos “1, 2, 3, 4…” en seguida nos damos cuenta de que esa serie puede continuar indefinidamente, que no encontraremos un “número final” después del cual no hay más números. El conjunto de los números, pues, es infinito: es más grande que cualquier número.

Históricamente, la relación de la filosofía, las matemáticas y la física con el infinito ha sido conflictiva. Muchos autores se han preguntado si era posible “capturar” al infinito o si es una idea detrás de la cual sólo podemos correr, sin alcanzarla nunca. Volvamos a los números: nadie puede visualizar los infinitos números que existen; podemos ponernos a contar y llegar hasta diez, diez mil o un millón. En un momento dado pararemos y diremos “Vale, está claro que esto no termina nunca. Será que hay infinitos números”. Es como si el infinito, más que observarlo, lo dedujéramos. En física sucede algo parecido: cuando medimos un tamaño, un tiempo o una energía siempre medimos un número. Hay cosas en física que quizá sean infinitas, como el tamaño del universo; pero incluso en ese caso no aspiramos a coger una regla y decir “pues sí, da infinito”. Todas las distancias que vamos a poder medir van a ser y serán siempre finitas. ¿Quiere esto decir que el infinito es un concepto “de peor calidad” que el 10, el 3,8 o el 5040?

Por fortuna desde hace algo más de cien años tenemos herramientas matemáticas para “medir el infinito”. Podemos escribirlo en un papel y estudiar sus propiedades. Podemos compararlo con otras cantidades y ver qué significan expresiones como “infinito más cinco” o “infinito menos infinito”. Podemos incluso preguntarnos si hay un único infinito o hay infinitos de varios sabores. Todo esto gracias a Georg Cantor, matemático alemán del siglo XIX y padre de la teoría de los números transfinitos.

Medir por comparación

Cantor parte de la idea de que cuando decimos “tal cosa es infinita” lo que estamos haciendo es una afirmación sobre su tamaño. Si el universo es infinito, lo es porque es más grande que cualquier cantidad de centímetros; que el conjunto de los números sea infinito significa que en él caben muchos números, más de los que cualquier número puede contar. Así pues, prosigue Cantor, si éstas son afirmaciones sobre tamaños deberíamos proceder con el infinito como lo hacemos con cualquier medida de un tamaño. Y aquí llega su idea fundamental: siempre que medimos un tamaño lo hacemos por comparación.

Y en realidad no hay nada muy extraordinario en esta idea: si decimos que una mesa mide ochenta centímetros lo que estamos haciendo es compararla con los centímetros que hay en una regla. Si decimos que sobre la mesa hay cinco manzanas lo que estamos haciendo es contar, o sea, comparar con el conjunto “uno, dos, tres, cuatro, cinco” que imaginamos en nuestra mente. De hecho, cuando somos jóvenes y aún no tenemos suficiente experiencia quizá nos resulte más fácil comparar con los dedos de una mano en lugar de imaginarnos cosas. En cualquier caso está claro que medir es comparar.

En ese caso, nos dice Cantor, medir el infinito no puede ser tan difícil: basta con encontrar otra cosa infinita con la que comparar. Y resulta que todo este rato teníamos en nuestras manos esa cosa: los números. Ya que tenemos claro que el conjunto de los números es infinito usémoslo de “regla” para medir los infinitos. Un ejemplo sencillo: los números negativos. Intuitivamente, todos entendemos que hay “la misma cantidad” de números negativos que positivos. Eso es porque los comparamos y vemos fácilmente que por cada positivo hay un negativo: está el 1 y está el –1, está el 2 y está el –2, y así sucesivamente. Hay infinitos números negativos, pero es el mismo infinito que el de los números positivos, porque podemos compararlos uno a uno y vemos que no sobra ninguno. Ya hemos hecho nuestra primera medida infinita.

Jugando con el infinito

Ahora hagamos algo un poco más divertido. Digamos que cojo todos los números, que ya sabemos que son infinitos, y les añado un kiwi amarillo (esto lo habré de hacer en mi mente, porque a los números no les gustan nada los kiwis). Este nuevo conjunto ¿cómo de grande es? Mi intuición me dice que es claramente más grande que tener sólo el kiwi, y también parece más grande que tener sólo los números. Sin embargo, mi intuición me engaña en este caso: el nuevo conjunto es exactamente igual de grande que si tuviéramos sólo los números. Para comprobarlo hagamos lo que Cantor nos ha enseñado: comparemos. Tomemos primero el kiwi, que es el elemento extraño en todo esto: él será el elemento número uno. Ahora tomemos el 1, el primer número: el será el elemento número dos. El 2 será el elemento número tres. El 3 será el número cuatro… etcétera, etcétera, etcétera. Resulta que al conjunto números + kiwi le pasa lo mismo que a los números negativos: es idéntico uno a uno a “los números positivos”. ¿Qué brujería es ésta?

La razón es sencilla: el infinito tiene cierta capacidad de “absorber” otros conjuntos. El infinito de los números positivos, en particular, es una lista que nunca termina. Tiene un primer puesto, un segundo puesto, un tercer puesto… No importa si los cincuenta primeros puestos están ocupados por frutas o por piezas de motor: después de eso nos sigue quedando una lista que nunca termina en la que podemos encajar otras cosas. Lo único importante es si podemos poner nuestro conjunto en forma de una lista. Si podemos hacerlo, entonces es del mismo tamaño que los números. Por eso a este tipo de infinito se le llama infinito contable, porque sus elementos se pueden contar, se pueden poner en forma de lista.

Otro ejemplo de cómo el infinito puede jugar con nosotros. Imaginemos ahora que tenemos el conjunto de los números en color azul y el conjunto de los números en color rojo. Dos copias exactas de todos los números que sólo se diferencian en el color. ¿Cómo de grande es ese conjunto? Nuestra intuición nos podría sugerir que ahí hay el doble de números, y ahora no es sólo que tengamos un kiwi que nos sobra: tenemos dos veces el infinito de los números. Pero ya estamos prevenidos, y sabemos que si podemos ordenar eso como una lista entonces el conjunto va a ser igual de grande que una sola copia de los números. Y efectivamente, es fácil hacerlo: basta con poner los números de diferente color salteados. El elemento uno de nuestra lista va a ser el 1 azul. El elemento dos va a ser el 1 rojo. El elemento tres, el 2 azul; el elemento cuatro, el 2 rojo; y así sucesivamente. De nuevo, aunque parecía que teníamos “dos veces infinito”, en realidad lo que teníamos era un único infinito contable.

Estos dos ejemplos nos enseñan lo importante que es ordenar bien nuestro conjunto para saber cómo de grande es. Si cogemos primero todos los números azules y después todos los números rojos podremos pensar, equivocadamente, que es un conjunto dos veces más grande que los números. No lo es: el infinito es tan grande que es capaz de absorber dos copias de sí mismo, como comprobamos cuando ordenamos las dos copias de forma inteligente. Cuando trabajamos con conjuntos infinitos el orden es crucial para que nuestra intuición no nos juegue malas pasadas. En nuestro primer ejemplo, si cogemos primero los números y después el kiwi podríamos pensar que tenemos “infinito más uno” elementos, pero al ordenarlo correctamente vemos que infinito más uno es, en realidad, infinito. Todas estas propiedades quedan patentes en el hotel infinito de Hilbert, que puede acomodar a nuevos viajeros a pesar de estar ya totalmente lleno.

Más grande que infinito

¿Quiere esto decir que la historia del infinito termina aquí? ¿Cualquier cosa que nos imaginemos es reordenable y terminará siendo tan grande como los números positivos? En absoluto: el infinito contable es sólo el más sencillo de los infinitos. El propio Cantor encontró una manera de construir, a partir de él, otro infinito que es estrictamente más grande. Y a partir de ése, otro más grande aún, y partir del tercero, otro más. Con su método de “medir el infinito” Cantor descubrió infinitos infinitos, cada uno de un tamaño diferente.

La idea básica del método de Cantor es fácil de entender. Ya hemos dicho que un conjunto puede ser infinito contable pero no parecerlo porque está “mal ordenado”, u ordenado de una manera en que su verdadero tamaño no es evidente. En nuestros ejemplos hemos visto dos de esas “formas desordenadas”: el infinito más un elemento suelto y dos copias del mismo infinito. Cantor demostró que, en realidad, hay infinitas maneras de desordenar el infinito contable, y que la lista de todas esas maneras es, ahora sí, más grande que el propio infinito contable. Para diferenciarlos Cantor llamó “aleph-0″ al infinito contable y “aleph-1″ al siguiente infinito mayor. A estos nuevos “números”, que sirven para medir el tamaño de conjuntos infinitos, los llamó números transfinitos.

La obra de Georg Cantor supuso la entrada del infinito en las matemáticas como miembro de pleno derecho. Gracias a sus ideas dejó de ser una palabra usada para describir una noción intuitiva, o un límite que imaginamos pero que nunca alcanzamos, y se convirtió en una medida del tamaño de los conjuntos. Con Cantor entendimos que aunque el infinito está más allá de los números no deja de ser, a su manera, también un número.

QUE NO TE LA CUELEN

• El infinito es una realidad cotidiana en las matemáticas, pero en física es objeto de cierto debate: ¿puede existir el infinito en la naturaleza? Las propiedades físicas que medimos siempre dan valores finitos, y si pudieran existir cantidades infinitas podría darse incluso que ciertas propiedades físicas no tuvieran sentido. En general los físicos tienden a pensar que la gran mayoría de la física es finita y debe ser finita. El tamaño del universo es, quizá, la única magnitud física para la que se considera plausible un valor infinito.

REFERENCIAS

• Georg Cantor. Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. Dover (traducción al inglés y notas de Philip Jourdain, 1915)
• Georg Cantor. Contribuciones a la fundamentación de la teoría de los números transfinitos. Facultad de Filosofía de la Universidad de Valencia (traducción al español y notas de Juan de Dios Bares y Juan Climent, 1997)