¿Cuántos billetes de lotería tienes que comprar para garantizarte un premio?

Decía Richard Feynman que las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza. Estamos rodeados de ella, aunque no la veamos. Desde el brócoli hasta los copos de nieve, las caracolas y hasta el tamaño de las tarjetas de crédito: todo responde a una ecuación matemática. Y puede que el azar también. Al menos así intentan explicarlo un grupo de matemáticos de la Universidad de Manchester que buscaron responder a la pregunta: ¿Cuántos boletos de lotería necesita comprar para garantizar ganar algo en la lotería?

Un equipo liderado por David Stewart y David Cushing ha analizado la lotería nacional británica, en la que se extraen seis números aleatorios del 1 al 59. Para ello utilizaron la geometría finita (aquella que contiene un número finito de puntos) centrada alrededor de una estructura similar a un triángulo llamada plano de Fano. Cada punto de la estructura se traza con pares de números y se conecta con líneas: cada línea genera un conjunto de seis números, lo que equivale a los que están en un billete de lotería.

Para cubrir todos los números, del 1 al 59, se necesitan tres planos de Fano y dos triángulos. Esto permite cubrir todos los números (como se ve en la imagen inferior) y da como resultados que 27 es el número más bajo posible de billetes necesarios para garantizar un premio, aunque, eso sí, sin garantía de una ganancia 100% segura.

Elegir billetes con esta técnica garantiza que, sin importar cuál de las 45.057.474 posibilidades sea sorteada, al menos uno de los billetes tendrá al menos dos números en común. De cualquier sorteo de seis, dos números deben aparecer en una de las cinco estructuras geométricas, lo que asegura que aparezcan en al menos un billete.

De acuerdo con Stewart, experto en matemáticas puras, “existe una tensión que proviene del hecho de que solo hay 156 entradas en 26 billetes. Esto significa que muchos números no pueden aparecer una vez. Eventualmente, veremos que habrá seis números que no aparecen juntos en ningún billete. En términos de teoría de grafos, terminamos demostrando la existencia de un conjunto independiente de tamaño seis". Un billete más, el número 27, es el que agrega los seis números, “garantizando” que sí aparecerán juntos. Al menos dos de ellos. Con esto puede que no ganemos el premio gordo, pero sí podríamos recuperar el dinero al acertar dos de los números. Pese a ello, los autores señalan que esto no debe usarse como un motivo para apostar.