Era un día cualquiera en clase de matemáticas avanzada cuando Hannah Cairo, una estudiante de secundaria de 17 años, se topó con un reto que parecía, a simple vista, un ejercicio opcional más. No imaginaba que, meses después, acabaría presentando en un congreso internacional un trabajo que obligaría a reescribir parte de la teoría en un campo tan sofisticado como el análisis armónico. Su hallazgo ha puesto fin a la conjetura de Mizohata-Takeuchi, aceptada como cierta durante casi medio siglo.

Hannah no es una alumna cualquiera. Nacida en Nassau (Bahamas) y residente en Estados Unidos, comenzó a cursar asignaturas universitarias en paralelo al instituto. Fue en uno de esos cursos, impartido por el profesor Ruixiang Zhang, donde se topó con la conjetura. “Era un problema interesante, pero no pensé que fuera a llegar tan lejos”, relató en su intervención en el Congreso Internacional de Análisis Armónico, celebrado en El Escorial. Su enfoque fue poco habitual. En lugar de buscar la demostración del enunciado, como habían intentado decenas de matemáticos antes, optó por lo contrario: encontrar un contraejemplo que probara que la conjetura no podía cumplirse en todos los casos. Y lo encontró.

¿Qué es la conjetura de Mizohata-Takeuchi?

Formulada en los años setenta por los matemáticos japoneses Sigeru Mizohata y Jiro Takeuchi, la conjetura se enmarca en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y operadores de Fourier, herramientas fundamentales para comprender fenómenos ondulatorios y patrones complejos. En términos sencillos, proponía que, bajo ciertas condiciones, era posible controlar la “dispersión” de determinadas funciones matemáticas asociadas a superficies curvas.

Durante décadas, la comunidad asumió su validez. De confirmarse, la conjetura habría allanado el camino para resolver otros problemas abiertos, como las conjeturas de restricción de Fourier o de Kakeya, consideradas entre los retos más difíciles del análisis moderno.

El trabajo de Cairo demostró que, para cualquier superficie suficientemente curva que no sea un plano, es posible construir un ejemplo en el que la desigualdad propuesta por Mizohata y Takeuchi no se cumple. O, dicho de forma más visual, que esas “ondas” que la conjetura aseguraba que siempre podían mantenerse bajo control, en algunos casos se desbordan.

El resultado no es un mero detalle técnico, implica que ciertas estrategias de investigación basadas en la conjetura quedan descartadas, obligando a explorar vías alternativas. “Es como si hubieras estado construyendo un puente sobre cimientos que creías sólidos, y alguien demuestra que en realidad están agrietados”, resume un investigador español en la materia.

Por qué es importante (aunque no sepas qué es Fourier)

El análisis armónico, pese a su nombre intimidante, tiene aplicaciones que van mucho más allá de la teoría pura. Las transformadas de Fourier, núcleo de este campo, se utilizan para procesar señales, comprimir imágenes, diagnosticar enfermedades a partir de resonancias magnéticas e incluso para modelar olas o fluctuaciones financieras. Entender sus límites no es solo una cuestión académica: afecta a la robustez de muchas herramientas científicas y tecnológicas.

En ese sentido, el hallazgo de Cairo marca un antes y un después. Su contraejemplo no destruye todo el edificio, pero sí obliga a replantear cómo se abordan ciertos problemas fundamentales.

En El Escorial, la joven presentó su artículo, disponible en la plataforma académica arXiv, ante un auditorio compuesto en su mayoría por profesores universitarios y doctores con décadas de experiencia. Según varios asistentes, la exposición fue clara, sólida y sin concesiones al simplismo, pero también con la frescura de alguien que aún está descubriendo los entresijos del mundo académico.

El impacto ha sido inmediato: su trabajo ya se discute en seminarios especializados y podría inspirar versiones más realistas de la conjetura original, con condiciones menos exigentes. “Refutar una hipótesis también es avanzar”, recuerda un matemático de la Universidad Autónoma de Madrid. “A veces, saber que un camino no lleva a ninguna parte es lo que permite encontrar la ruta correcta”.