Todos los años, cuando en octubre se conceden los premios Nobel, alguien echa en falta la presencia de un “Nobel de matemáticas”. Hay incluso leyendas acerca de por qué no existe, pero permitámonos hoy hablar de ciencia, no de folclore. Las matemáticas también tienen sus días grandes, y uno de ellos llega siempre en marzo, cuando la Academia Noruega de las Ciencias y las Letras anuncia los ganadores del Premio Abel. El galardón lleva el nombre de un titán de este negocio, el noruego Niels Henrik Abel (1802-1829), y se otorga todos los años a matemáticos, habitualmente veteranos, que hayan hecho contribuciones fuera de lo común al campo. Viene acompañado, además de la honrilla, de más de 600.000 euros.

Y sin duda los premiados de este año son figuras extraordinarias. El israelí-estadounidense Harry Furstenberg y el ruso-estadounidense Grisha Margulis son dos de los exponentes de un campo poco conocido, la teoría ergódica, pero que gracias a ellos se ha extendido mucho más allá de sus límites y se ha convertido en una herramienta para resolver problemas en otras ramas de las matemáticas. Esta capacidad de “atravesar fronteras” es una de las cualidades más fascinantes de las matemáticas, y nos sirve de recordatorio de que sólo hay una matemática, pero la expresamos con muchos lenguajes diferentes.

Una teoría de mezclar y agitar

La teoría ergódica es una vieja conocida de los físicos y, en realidad, de cualquiera de nosotros también. Todos hemos echado azúcar alguna vez a un vaso de leche, un café o una taza de té, ¿verdad? Le echamos una cucharada, o dos, o tres, según lo dulce que nos guste, y después removemos, para que se mezcle. Sabemos que, desde el principio, la cantidad de azúcar que hemos echado es la correcta: conocemos nuestro vaso, y tenemos la proporción bajo control. Pero remover es necesario, porque si no se quedará toda en el fondo. En esto consiste la teoría ergódica: en encontrar maneras eficientes de mezclar sistemas, y en comparar las propiedades del sistema mezclado y sin mezclar.

Más formalmente, lo que hacemos en esa teoría es estudiar sistemas finitos, como el vaso de leche. Nos fijamos en una propiedad de esos sistemas; digamos, en la proporción de azúcar. La proporción es la misma en el vaso removido y sin remover, eso no cambia. Y buscamos procesos, cosas que le podamos hacer al sistema, que no cambien ni la cantidad ni la naturaleza de los componentes. Es decir, no queremos cambiar parte de la leche por agua: eso no es ergódico. No queremos añadir más azúcar, eso tampoco es ergódico. Remover, sin embargo, está bien: no estamos cambiando nada, sólo estamos reordenando las cosas que hay dentro del vaso.

Un resultado importante de teoría ergódica es que si un proceso mezcla eficientemente los componentes del sistema (y hay maneras muy precisas de definir qué significa “mezclar eficientemente”), entonces sólo con aplicar ese proceso muchas veces todas las propiedades del sistema tenderán a su valor medio en todos los puntos del sistema. En el caso de nuestro vaso de leche: que si removemos bien el azúcar terminará repartida homogéneamente por todo el vaso. Claro, en el caso de un vaso de leche esto es una obviedad y no hace falta usar palabras rimbombantes como “ergódico”. Pero la potencia de estas matemáticas está en que nos definen de forma muy precisa qué procesos son ergódicos, y nos permiten “recorrer” los sistemas y averiguar propiedades que, de lo contrario, nos estarían vetadas.

Veamos alguna de esas propiedades “ocultas” aprovechando el currículum de uno de los galardonados de este año.

Agitando los números

En el año 1936 los matemáticos húngaros Paul Erdős y Pál Turán estaban analizando las propiedades de secuencias aritméticas de números enteros. Estas secuencias son, esencialmente, aquéllas en las que cada número se diferencia del siguiente en la misma cantidad que del anterior. Por ejemplo, {2, 4, 6, 8} sería una secuencia aritmética en la que la diferencia sería 2, y {0, 5, 10, 15} sería otra en la que la diferencia sería 5. Estas secuencias son muy abundantes en los números enteros, pero Erdős y Turán se hicieron una pregunta: ¿seguiremos encontrándolas si eliminamos alguno de los números enteros? Por ejemplo, podríamos quitar todos los terminados en 5, o todos los múltiplos de 2.

Erdős y Turán pensaban que mientras no quitemos “demasiados” números (y dieron una definición estricta de lo que esto significa) seguiremos encontrando secuencias aritméticas. De hecho, las podremos encontrar tan largas como queramos, aunque según qué números quitemos quizá no sean infinitas. Erdős y Turán no pudieron demostrar esta afirmación, así que la dejaron como una conjetura. Cuarenta años después, en 1975, otro húngaro, Endre Szemerédi, demostró la conjetura, que desde entonces se llama teorema de Szemerédi.

La demostración de Szemerédi era prodigiosa, extraordinariamente compleja, y requería una potente carga de combinatoria, que es marca de la casa en Szemerédi. Sólo dos años después Harry Furstenberg presentó una demostración alternativa usando teoría ergódica. Una demostración que, a primera vista, parece insultantemente sencilla.

Lo que Furstenberg demostró fue que si tenemos cualquier colección de números enteros y un proceso que los mezcla de manera ergódica siempre vamos a encontrar que el conjunto inicial va a tener elementos comunes con el conjunto mezclado una vez, o con el conjunto mezclado dos veces, o con el conjunto mezclado tres veces. Es más, estos conjuntos mezclados también van a tener elementos comunes entre sí, y en algunos casos todos ellos tendrán elementos comunes. El enunciado de verdad, claro, es un poco más complicado, pero la idea es sencilla: si el proceso es ergódico siempre habrá elementos que “vuelvan” después de un número de mezclas suficiente.

¿Y qué tiene esto que ver con Szemerédi y las secuencias aritméticas? Pues muy sencillo: uno de los procesos que cumple las propiedades de Furstenberg es, simplemente, “sumemos 1 a cada número de nuestra colección”. El resultado de Furstenberg implica que, tengamos el conjunto que tengamos, sólo hemos de sumarle 1 a sus números suficientes veces para terminar encontrando algunos de los números que teníamos al principio. Ésta es, precisamente, la definición de secuencia aritmética.

Veámoslo con un ejemplo. Tomemos la secuencia {2,4,6,8}. Si le sumamos 1 a cada elemento tenemos {3,5,7,9}. Vaya, no tienen ningún elemento en común, pero que no cunda el pánico: el teorema de Furstenberg dice que hay que mezclar suficientes veces. Hagámoslo otra vez: conseguimos {4, 6, 8, 10}. Ahora sí: el 4, el 6 y el 8 han “vuelto” después de aplicar el proceso dos veces. Lógico, porque era una secuencia de diferencia 2. Algunos de ellos volverán más veces: al aplicar el proceso 4 y 6 veces. Todo múltiplos de 2, en buena lógica.

De esta forma, un resultado sobre “mezclar cosas” ha resultado que nos da información sobre las relaciones dentro de un conjunto de números. Ésta no ha sido la única incursión de la teoría ergódica fuera de su región de confort: un resultado debido a Margulis y publicado también en 1977 permitía entender mejor las propiedades de un grupo discreto inmerso dentro de un grupo más grande gracias a que los elementos de los grupos se “mezclan” de forma ergódica.

Las carreras de Furstenberg y Margulis están llenas de trabajos extraordinarios, y lo que hemos señalado aquí es sólo un rápido vistazo a unas matemáticas profundas y hermosas, que nos muestran que conceptos aparentemente alejados pueden estar relacionados. Ésta es, en definitiva, la epopeya de las matemáticas: la búsqueda de nuevos ángulos para entender lo que desconocemos, pero también para volver a entender lo que ya creíamos saber.

QUE NO TE LA CUELEN

• El premio Abel no es “el Nobel de las matemáticas”. Aunque se parece al Nobel en varios aspectos (por ejemplo, se concede todos los años, y su dotación económica es alta) todavía es un premio joven, ya que se concedió por primera vez en 2003. El premio más prestigioso del campo es, probablemente, la Medalla Fields, pero ésta se otorga cada cuatro años y sólo se concede a matemáticos de menos de 40 años, así que no se parece demasiado al Nobel.
• Hay una curiosa historia según la cual el Nobel de Matemáticas no existe por un lío de faldas que tuvo un matemático con una mujer de la que Alfred Nobel estaba enamorado. No hay ninguna evidencia histórica de que tal cosa ocurriera, y por lo tanto hay que considerarla una leyenda urbana.
• A lo largo de este artículo hemos utilizado un lenguaje muy poco riguroso que, con seguridad, pondrá los pelos de punta a todos los matemáticos. Al lector interesado le recomendamos que navegue por las referencias, en las que encontrará descripciones mucho más precisas de los trabajos de Furstenberg y Margulis.

REFERENCIAS

• Roberto Markarian. Introducción a un curso de teoría ergódica. Pro Mathematica, vol. 7, nº 13-14 (1993)
• Harry Furstenberg. Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions. Journal d’Analyse Mathématique, vol. 31, is. 1, pp. 204-256 (1977)
• Jacques Tits. Travaux de Margulis sur les sous-groupes discrets de groupes de Lie. Séminaire Bourbaki nº 482, vol. 18, pp. 174-190 (1976)