Un acertijo sencillo con una respuesta desconocida: ¿Todos los caminos llevan al 1?

Nos cuentan que las matemáticas son útiles, que son importantes porque con ellas podemos entender desde el universo hasta cómo nos afecta un medicamento, pero esa no es toda la verdad. Otros nos dicen que las matemáticas son maravillosas por su belleza, por cómo se enmarañan ordenadamente en complicados razonamientos, pero tampoco están contándolo todo. Hay otro motivo para amar a las matemáticas, una de las razones que a más gente ha convencido de estudiarlas: son divertidas.

Lo son, esto es así. Las matemáticas recreativas existen y son acertijos, retos que ponen a nuestro cerebro a trabajar. Solo necesitas lápiz y papel, o a veces ni tan siquiera eso. Es más, hay ocasiones en que este espíritu de las matemáticas recreativas impregna al resto de áreas y es entonces cuando se viralizan entre los profesionales. Así que, juguemos a algo.

Juguemos a algo

Coge un número entero positivo (esos que usamos para contar, sin decimales ni florituras) Presta atención, porque vamos a definir un algoritmo, que, dicho de otro modo, es solo una forma de tomar decisiones. Si tu número es par divídelo entre dos. Si en cambio, tu número es impar multiplícalo por tres y súmale uno. Ahora tienes un nuevo número ¿verdad? Pues aplica de nuevo el algoritmo anterior, si es par lo divides entre dos y si es impar lo multiplicas por tres y le sumas uno. Coge el resultado y vuélvelo a procesar, como si estuvieras amasando el número, una y otra vez. Si te preguntas cuántas veces tienes que hacer esto, la respuesta es sencilla: tú sigue, te darás cuenta de cuando parar.

Si has seguido jugando con tu número con casi toda probabilidad habrás entrado en un bucle. En algún momento tu algoritmo te habrá devuelto el 4, que al ser par habrás dividido entre dos obteniendo un 2, que como también es par habrás dividido entre dos consiguiendo un 1, el cual es impar, por lo que deberías haberlo multiplicado por tres y haberle sumado uno, obteniendo de nuevo el 4. Estás en un ciclo sin fin, una vez has caído no hay forma de salir de él, pero ¿podríamos haberlo evitado? ¿Existe alguna forma de huir del 4 2 1? Eso es exactamente lo que el matemático Lothar Collatz se preguntó en 1937. Desde entonces han pasado más de 80 años y todavía no sabemos si todos los caminos llevan al 1.

La fuerza bruta no es la solución

Como comentamos en el artículo sobre la conjetura de Goldbach, las matemáticas intentan ser lo más precisas posibles y no les valen aproximaciones cuando se trata de considerar cierta o falsa una afirmación. Si aceptamos que la conjetura de Collatz es cierta y que todos los números acaban cayendo en el bucle de 4 2 1, entonces, más nos vale que se cumpla para todos los infinitos números enteros que existan y, por desgracia, probarlos todos no es una opción.

Lo que sí se puede hacer es encontrar una excepción. Con tal de descubrir que existe un número que no entra en ese bucle será suficiente para demostrar que la conjetura de Collatz es falsa. Por otro lado, se puede intentar encontrar alguna contradicción, algo así como que: si la conjetura es falsa (o cierta) se derivarían algunas conclusiones que contradirían principios más fundamentales de las matemáticas, cimientos mucho mejor asentados.

El problema es que se ha intentado, y no a mano, sino con ordenadores mucho más potentes que nuestros cerebros armados solo con lápiz y papel. No hay ningún número que se libre del bucle entre, aproximadamente, los 10^18 primeros, o dicho de forma tradicional y preocupantemente larga los primeros 1 000 000 000 000 000 000 lo que en castellano llamamos un trillón (no confundir con el trillón inglés, que es nuestro billón, ni este con el billón inglés, que es nuestro millardo, pero bueno ¿continuamos?)

La belleza de un buen gráfico

Aunque la aproximación por fuerza bruta no haya resultado (que es como se llama a este tipo de aproximaciones donde se comprueban muchos números uno a uno) nos ha dejado algunos gráficos muy interesantes, como este, donde se muestran en el eje horizontal los números del 1 al 10 000 y en el vertical cuántas veces tenemos que repetir nuestro algoritmo hasta caer en el bucle. Es ese orden desordenado que surge en tantos problemas matemáticos. Una distribución bella y sugerente, pero hay muchas más.

Otros prefieren utilizar árboles donde siguen el camino contrario. Partiendo del 1 vuelven sobre sus pasos simulando cómo se consiguen todos los números partiendo de él, como las ramas de una planta. Normalmente las ramas parecen distribuidas de cualquier manera, pero hay quien busca formas cada vez más creativas de estructurarlos, por ejemplo, inclinando las ramas impares hacia un lado y las derechas hacia otro, consiguiendo estructuras que, dicen, que se parecen a organismos vivos, como algas o corales. Por supuesto, es pura pareidolia, pero sorprendentemente sugerente. La rama más larga que conocemos es la del número 75.128.138.247 que necesita nada más y nada menos que 1228 pasos para llegar al 1.

Pero ¿cómo sería un número que no cumpliera Collatz?

La primera vez que escuchas hablar de esta conjetura es normal preguntarse cómo puedes estar seguro de que un número no llega nunca al 1. ¿Significa esto que sigue cambiando sus valores vez tras vez de forma infinita? Y si es así ¿Cómo distinguimos que un número necesite millones de millones de millones de interacciones de otro número que simplemente no llegue nunca? A fin de cuentas, hay números finitos inimaginablemente grandes.

La respuesta es sencilla, se trata de un malentendido. Si lo piensas cuando aplicamos el algoritmo de Collatz a un número, si la conjetura es correcta, este no debería de volver sobre sus pasos (a no ser que sea el 1, el 2 o el 4). Si lo hiciera estaría cayendo en un bucle, por lo que en ese mismo momento en el que utilizando el algoritmo de Collatz obtengas un número repetido, felicidades, sabrás que has encontrado el ansiado contraejemplo. Para la conjetura de Collatz solo hay un ciclo conocido, el famoso 4 2 1, y de hecho es denominado “ciclo trivial”.

Mientras tanto, los números subirán y bajarán como locos, recorriendo todos los dígitos que les venga en gana. De hecho, por ese motivo se les llama “números de granizo”, porque, el granizo se forma cuando una corriente de aire asciende las gotas de lluvia hasta congelarlas, haciendo que se le acumule condensación en la superficie que la haga pesar más, lanzándola de vuelta a la tierra. A veces, una nueva corriente sube al granizo de vuelta a las alturas, repitiendo la escena unas cuantas veces, pero siempre termina en el suelo, en el número 1.

Junto con la conjetura de Goldbach este es otro de esos problemas matemáticos que pueden hundir una carrera. Preguntas aparentemente simples, pero tan difíciles que pueden absorber una vida entera sin conseguir el más mínimo avance. Su sencillez, la belleza de los enunciados y sobre todo la leyenda que se ha construido a su alrededor, hacen de estos acertijos matemáticos una tentación difícil de domar. Uno de los mayores genios matemáticos de nuestra generación, Terence Tao, reconoce que no se permite trabajar en este tipo de cuestiones más de uno o dos días al año, así de poderosos son los cantos de las sirenas matemáticas.

Porque los números, aunque pueda parecer lo contrario, esconden pasatiempos capaces de abstraerte como si el tiempo se hubiera desvanecido, tragando tus minutos, tus horas e incluso tus años. Solos tú y el papel en una lucha contra la historia.

QUE NO TE LA CUELEN:

• Nadie ha conseguido demostrar la conjetura de Collatz, pero tampoco ha sido probado que sea imposible conseguirlo (que sea indecidible).
• Lo que consiguió Terence Tao fue demostrar que, aproximadamente (y esa es la palabra clave), todos los números terminan en el ciclo trivial.

REFERENCIAS (MLA):

• Lagarias, Jeffrey C. “The ultimate challenge: the 3x + 1 problem.” American Mathematical Society 2010.
• Simons, John L. “On the nonexistence of 2-cycles for the 3x + 1 problem”. Math. Comp. 74:1565–72. 2005
• Terence Tao. “Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values” arXiv. 2019